安徽宣城市郎溪中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽宣城市郎溪中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.某校开展社团招新，有3个科技类社团和4个文艺类社团．若某同学打算报名1个科技类社团和1个文艺类社团，则不同的报名方式共有A.7种 B.12种 C.16种 D.24种2.已知等比数列{an}中，a2＝3，a5＝24，则a8＝A.192 B.81 C.72 D.453.已知函数，则（

）A. B. C. D.4.已知函数f(x)的定义域为R，且其图象是一条连续的平滑曲线，若(x+1)f′(x)≥0，则A.f(-2)+f(0)≤2f(-1) B.f(-1)+f(0)＜2f(-2)

C.f(-2)+f(0)≥2f(-1) D.f(-1)+f(0)＞2f(-2)5.为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为A.6 B.8 C.10 D.126.某科技公司研发了5个不同的人工智能大模型算法，准备应用到智慧医疗、自动驾驶、智能客服这3个不同的应用场景中．要求每个应用场景至少应用1个算法，且每个算法只能应用于1个应用场景，则不同的应用方案共有A.150种 B.120种 C.90种 D.60种7.在长方体中，，，，向量，则（

）A. B. C. D.8.已知，，且，，则（

）A. B. C. D.1二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.函数的大致图象可能是（

）A. B.

C. D.10.已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（

）A.圆与圆外切

B.当直线与圆相切时，的面积为

C.的最小值为

D.的最小值为11.设Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．已知a1＝2，Sn＝nan-2n(n-1)，Tn＝4bn-3．若数列{cn}满足，则下列说法正确的是A.{an}是等差数列 B.{bn}是等比数列

C.{cn}是递减数列 D.若cn≤k恒成立，则k的最小整数值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算：

．（用数字作答）13.对于整数a和正整数m，定义amodm为a除以m所得的非负余数．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an+2＝(an+1+2an)mod5，则a2026＝

．14.已知函数，若，，则

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知的展开式中第5项为常数项．(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项．16.(本小题15分)已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，证明：．17.(本小题15分)已知函数．(1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条；(2)若在区间上的最小值为，求实数a的值．18.(本小题17分)已知双曲线C的焦点在x轴上，且C过点，一条渐近线的方程为．(1)求C的方程．(2)已知斜率存在的直线l与C交于A，B两点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N．（i）求证：与的中点相同；（ii）若的中点的纵坐标为2，且l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为，求l的方程．19.(本小题17分)已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，均有，求m的最大整数值；(3)若有且仅有1个零点，求a的取值范围．附：当，且时，．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】ABC

10.【答案】BC

11.【答案】ABD

12.【答案】900

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】解：（1）的展开式的通项为，

因为第5项为常数项，所以当时，，解得．（2）由（1）知，展开式的通项为，其中，1，2，…，6．

展开式中的有理项即x的指数为整数的项，分别为：当时，，当时，，当时，，当时，．

16.【答案】解：（1）因为，所以，

当时，，

当时，也满足上式，

故数列的通项公式为．

（2）由（1）知，，

．即

17.【答案】解：（1）由题可知的定义域为，当时，，所以曲线在点处的切线方程为：．将代入上式，得，化简得．令，则，设，则，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，在上有唯一的零点，所以经过点的曲线的切线仅有1条．（2），令，得，令，得．①当时，在上恒成立，故在上单调递增，所以，不符合题意；②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，由，解得；③当时，在上恒成立，在上单调递减，所以，不符合题意，舍去．综上，．

18.【答案】解：（1）由题可设双曲线的方程为．因为C的一条渐近线的方程为，所以，即，①

又因为C过点，所以．②

联立①②，解得．

所以C的方程为．（2）（i）设l的方程为．联立得，消去y，得，

则，由，得，设，则，AB中点的横坐标为．

C的渐近线方程为，，得，由，得，则MN中点的横坐标为，所以，又两个中点都在l上，所以，故MN与AB的中点相同．

（ii）l与两条坐标轴的交点的坐标分别为和．将代入，得，由，得

．③

因为与两条坐标轴的正半轴相交，所以即

因为l与两条坐标轴的正半轴所围成三角形的面积为，所以，化简得，④

将④代入③，得，即.当时，单调递增，且，所以，则，满足．故l的方程为，即．

19.【答案】解：（1）当时，，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，因此函数的极小值为，无极大值．（2）当时，即，也即，令，则，令，则，所以在上单调递增，又，所以存在唯一的，使得，即，故当时，单调递减，当时，单调递增，所以，则．

因为，所以，所以的最大整数值为4．（3）由题可知的定义域是，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则．当时，，且当时，，当时，，故存在唯一零点，