河南省华大新高考联盟2026届高三下学期5月联考数学试卷（含解析）

河南省华大新高考联盟2026届高三下学期5月联考数学试卷一、单选题1．已知i为虚部单位，若，则

A．i B． C． D．2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（

）A．4 B．7 C． D．84．（

）A．1 B． C． D．25．某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（

）A．45种 B．36种 C．28种 D．8种6．设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（

）A．84 B．63 C．42 D．217．若，则（

）A． B． C． D．8．函数的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（

）A．以的长度为边能构成三角形B．以的三条中线的长度为边能构成三角形C．以的长度为边能构成三角形D．若点G到的三边，，的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（

）A．当时，的面积为 B．当时，的周长为C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是三、填空题12．空间向量在上的投影向量为___________．13．已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________．14．投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________．四、解答题15．为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市2025年第二、第三季度每个月的销售量（单位：万辆）如下表所示．月份4月5月6月7月8月9月月份代号x123456销售量y1.52.32.83.23.74.5(1)求这6个月销售量数据的平均数和80%分位数；(2)已知该市销售量y与月份代号x具有很强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2025年12月份的销售量．附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，，，.16．设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．(1)求的值；(2)求函数图象的对称中心；(3)求数列的前2n项和．17．如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点．(1)证明：平面．(2)求平面和平面的夹角的余弦值．(3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由．18．已知函数，其中．(1)当时，求方程的所有实数解；(2)证明：当时，；(3)若在上恒成立，求a的值．19．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆E上且的周长为6．(1)求椭圆E的方程．(2)设过点的直线与椭圆E交于A，B两点，过点的直线与椭圆E交于C，D两点，与的交点为P，且与的斜率之积为．①求点P的轨迹方程；②求四边形ACBD面积的取值范围．参考答案及解析1．A解析：由题意，复数，所以.故选：A．2．D解析：解不等式，得，即，所以，解不等式，变形得，因为指数函数是上的增函数，所以，所以．3．C解析：由已知得，则，所以当时，，所以，故．4．D解析：，，所以．5．B解析：10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，．6．A解析：依题意可知，，显然，又，则．又，故，所以，解得，所以．7．C解析：令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，所以所以，即.令，则，令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以恒成立，即恒成立，所以是减函数，所以，即，即．综上所述，.8．B解析：因为，，所以．令，设，则．当时，，所以的最小值为．9．AD解析：对于A，若，由线面垂直的性质可知，A正确；对于B，若，则可能有或或斜交或，B错误；对于C，若，但是m不一定在内，故不能推出，C错误；对于D，因为，，所以直线的方向向量分别与平面的法向量平行，又因为，所以两平面的法向量互相垂直，故两直线的方向向量互相垂直，即，D正确.故选：AD10．ABD解析：由正弦定理可知，所以以的长度为边能构成三角形，故A正确，设三条中线分别为AD，BE，CF，则有，因为，所以，即三个向量可构成闭合回路，所以以的三条中线AD，BE，CF的长度为边能构成三角形，故B正确，显然当时，，故C错误，因为，所以，所以，所以以的长度为边能构成三角形，故D正确．11．BC解析：当时，，故A错误；设，当时，有，所以，的周长为，故B正确；设，当为钝角时，由余弦定理知，因为，所以，故C正确；由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即，故D错误．引理双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是．证明如下：如图，点P位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为G，则圆心G在直线上（证明省略）．设内切圆的半径为r，点，由焦半径公式得，其中．所以．因为，即．因为点在双曲线C上，所以，得．于是，把代入得．易知在时单调递增，且，由函数的单调性及极限的知识可知，因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是．12．解析：由题意得，，，故向量在上的投影向量为.故答案为：13．解析：设，与曲线联立，得，由，得．直线l与曲线联立，得，显然，由，得．所以，化简得，又，所以，从而．所以直线l的方程为，即．14．解析：定义状态i（）表示在停止事件（掷出1或6）发生之前，已经观察到不同的数字来自集合的个数，设为从状态i出发最终成功的概率（即最终在掷出1或6之前已经收集全4个数字），显然，当时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出1或6时即成功，因此，对于状态i（），考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能：①掷出数字1或6（概率为），此时停止，但由于尚未收集全4个数字（），因此失败，成功的概率为0，②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变，③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到，因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程：，化简得，移项得，即．利用，依次计算得，，因此，所求概率为．15．(1)平均数为3；80%分位数为3.7(2)，约为6.08万辆解析：（1）由题意可得，6个月销售量从小到大排列为：，所以平均数为．

因为，所以这6个月销售量数据的80%分位数为从小到大排列后的第5个数：3.7．（2）由（1）可知：，，，

，

所以，当时，（万辆），即预测2025年12月份的销售量约为6.08万辆．16．(1)(2)(3)解析：（1）令得或，其中，解得或，

所以当时，的最小正零点为．依题意有，故．（2）由（1）知，令，解得，所以函数图象的对称中心为．

（3）由（1）可知满足或，依据三角函数的特性可知，在一个周期内有两个零点，所以最小的两个正零点为，周期，所以数列的奇数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列，数列的偶数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列，所以

所以，所以．17．(1)证明见解析(2)(3)存在；解析：（1）在图1的等腰直角中，D为的中点，可得，所以在图2中，可得．因为，且，平面，所以平面．

又因为平面，所以．因为平面，所以是二面角的平面角，即，所以为等边三角形因为M为的中点，所以．又因为，且AD，平面，所以平面．

（2）以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则．设平面的法向量为，则

则，取，可得，所以．设平面DAB的法向量为，则

则，取，可得，所以．所以，所以平面和平面所成角的余弦值为．

（3）假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为．由（2）得，设，则．

平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，化简得，解得或（舍去），所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为．当时，．18．(1)或(2)证明见解析(3)解析：（1）当时，，则，所以，所以，即或，解得或．所以方程的所有实数解为或．（2）令，则，当时，因为在上单调递增，且，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以．当时，因为，所以，综上所述，当时，，即．（3）构造函数，则，因为对任意内恒成立，且，可知为极小值点，则，即，若，因为，则，由（2）知，当时，成立，所以在上单调递增，则，由的单调性知，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，满足题意，综上所述，．19．(1)(2)①；②解析：（1）因为椭圆的焦点为，的周长为，即，已知在椭圆上，代入得，结合椭圆关系，所以，解得，所以椭圆E的方程为．

（2）由（1）可知，椭圆E的方程为，焦点坐标为，

①设直线与直线的斜率分别为，则，设点P的坐标为，则，

即，因为斜率存在所以,化简得，所以点P的轨迹方程为，

②方法一

设，联立，则，

联立，则，

所以，

同理可得，

设与的夹角为，因为与的方向向量分别为，所以，所以，

设四边形ACBD的面积为S，则，因为，所以，令，则，则，令，则，化简得，当时，S→6；当时，，所以四边形ACBD面积的