浙江省七校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

浙江七校联盟2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二数学一、单选题1．已知，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．2．设，则（

）A． B． C． D．3．设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（

）A．3 B．2 C． D．4．在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（

）A． B． C． D．5．设为自然底数，，若有4个零点，则正数取值范围为（

）A． B． C． D．6．有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球，现将6个球分别放到编号为①，②，③，④的四个箱子中，每个箱子至少放1个球，且编号为3，4的小球必须在同一个箱子中，则不同的放法有（

）A．168种 B．200种 C．96种 D．240种7．已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（

）A．15 B．9 C．8 D．7二、多选题9．若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则独立D．10．已知等差数列的前项和为，是等比数列，且满足：，，则下列结论正确的是（

）A．等差数列的通项公式为B．等比数列的公比C．若，则数列的前项和D．若，则数列的前10项和11．三支不同的折线交椭圆于点，为椭圆的右焦点，记的面积为，下列说法正确的是（

）A．为定值B．C．若，则D．的最大值为三、填空题12．展开式中的常数项为___________．13．已知在上递减，的取值范围为______．14．在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______．四、解答题15．如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的动点，且．(1)求证：；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值．16．某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖．(1)求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望；(2)若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率．17．已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)若存在极小值0，求实数的值．18．在平面直角坐标系中，双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．当轴时，．(1)求的值；(2)设中点为，的外心为．（i）若，求直线的斜率；（ii）若均在第二象限，求的取值范围．19．已知数列满足．(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；(2)设，（i）记，证明：；（ii）若恒成立，求的取值范围．（为自然底数，）参考答案1．B【详解】因为，所以，解得.2．A【详解】因为，所以3．D【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径，圆心到直线的距离为，所以弦长为，所以，解得，所以圆的半径为.4．B【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”，题目给出，，，则，已知选了化学，所求为条件概率：.5．C【详解】因为，所以，，故函数的定义域为，因为，所以，所以函数为偶函数，令，则，若，则对应，若，则对应，所以有个零点等价于在上有两个不同解，在上有两个不同解，设，故在上有2个不同的解，因为，由，可得，又，解得，故在上单调递增；由，可得，又，解得，故在上单调递减；因为，所以，，，要使在上有2个不同的解，则正数的取值范围为.6．D【详解】先将6个小球分成四组，因为编号为3，4的小球必须在同一组，因此可以有1，1，2，2或1，1，1，3两种分组方式，若分为1，1，2，2，须在剩余的4个小球中任选两个作为一组，共有种选法；若分为1，1，1，3，须在剩余的4个小球中选出一个小球与3号和4号分在一组，共有种选法；再将分好的四组小球分配到四个箱子中去，共有种排法；因此不同的放法有.7．A【详解】抛物线：的焦点是，准线方程为，根据抛物线的定义，得（为到准线的距离），圆：的圆心为，半径，因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号），所以．因为（与重合时取等号），所以．8．B【详解】正项等比数列中，，，.记等比数列的公比为，，，，，.是递减数列，.已知，，则，，.又因为，则，，即.结合前面得到的，可知，解得.9．ABD【详解】选项A，，A选项正确.选项B，，B选项正确.选项C，，，不能得出，选项C错误.选项D，，D选项正确.10．ACD【详解】等差数列满足，所以，又，所以，即，联立方程，解得，所以，所以A正确；，所以，因为是等比数列，所以数列的公比，所以B错误；，所以数列的前项和，所以C正确；因为等比数列的公比，，所以，，所以数列的前项和，所以，所以，即化简整理得，所以D正确.11．AD【详解】椭圆中，所以焦距故右焦点为设某一条折线对应的参数为，并设右支射线与轴正方向的夹角为，则记该折线与椭圆的两个交点分别为，其中在左侧射线，在右侧射线.对点而言，设由于在以为端点、与轴夹角为的射线上，所以又因为椭圆上任一点到右焦点的距离满足故整理得所以同理，对点，设则因此整理得故选项A，由上式它与无关，所以为定值.故A正确.选项B，点的坐标分别可写成于是化简得可见的斜率随改变而改变，所以不同的折线对应的弦不一定互相平行.故B错误.选项D，由故因此化简：又因为所以代入可得求导：故当，即时，取得最大值.此时所以D正确.选项C，由上式下面举反例,取则于是而故但是显然所以C错误.12．15【详解】二项式展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的常数项为.故答案为：1513．【详解】由可得，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立；即在上恒成立；令，则，当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，因此在处取得极小值，也是最小值，即；所以即可，因此的取值范围为.14．【详解】设三门大炮命中目标的概率分别为，则未命中的概率分别为，恰好命中1发的概率，，此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为，恰好命中2发的概率，，此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为，三门全部命中的概率，此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为，所以弹药库被摧毁的概率为，即.15．(1)证明见解析(2)【详解】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，又∵，∴；（2）由，当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.又∵，∴当时，取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值，故，则，，设平面的法向量为，则，即，令，则，可得，则，故直线与平面所成角的正弦值为.16．(1)的分布列为(2)【详解】（1）设随机变量表示该顾客获得的优惠券金额，则，总的抽法数为，当抽到2个红球时，，，当抽到1个红球1个白球时，，，当抽到0个红球，即2个白球时，，，所以的分布列为数学期望为.（2）设事件表示“1、位顾客获得元优惠券”，则，因为位顾客抽奖结果相互独立，所以“获得元优惠券的人数”服从参数为的二项分布.设其中获得元优惠券的人数为，则所求概率为，其中，，所以.17．(1)(2)【详解】（1）当时，又所以曲线在点处的切线方程为化简得（2）设函数在处取得极小值，则由得从而代入，得即由于，故于是两边取指数，得所以而故下面验证此时确有极小值.令设方程的解为，易知函数在上单调递增，所以方程有且仅有一个解，又由可得于是设，则当且时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以处为极小值点，极小值为.综上，18．(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）因为双曲线可写成所以故右焦点为当轴时，过焦点的直线为直线代入双曲线方程得所以两交点的纵坐标分别为，从而解得（2）由第（1）问知故双曲线为此时右焦点为设直线的斜率为，则其中，把直线方程代入双曲线方程：化简得设两交点的横坐标分别为，则由韦达定理，于是中点的横坐标为又因为在直线上，所以因此下面求外心.设过三点的圆的圆心为，则该圆方程可写为将直线代入上式，得到该圆与直线的交点对应的方程而该方程与有相同的两个根，故二者对应系数成比例,比较系数可得于是（i）由上式，由条件得因此所以直线的斜率为.（ii）由知，必有再由且，可得所以再看点在第二象限的条件，由知在时，要使，必须有于是令则此时设则所以在上单调递减，当时，当时