《数学物理方法》期末测试卷及答案

《数学物理方法》考试试卷

（闭卷时间120分钟）

一、单项选择题（每小题2分，共10分）

1.如果塞级数，的收敛半径为2,则该事级数一定（）

A.在z=l点收敛；B.在z=l点发散；C.在z=2点收敛；D.在z=2点发散.

2.设z=x+/y,若/（2）=（"3+灰2）,）+/（%3-3盯2）为解析函数，则（）

A.4=1,8=3；B.。=1,〃=一3；C.。=-1,。=3；D.tz=­1,/?=—3.

3.函数/（x）=e"的傅里叶变换结果为（）

A.2尬（⑼；B.2乃j5（⑼;C.2公D.24川（©-1）.

4.偏微分方程字=粤+粤为（）

dtdx2dy2

A.齐次线性方程；B.非齐次非线性方程：C.非齐次线性方程；D.齐次非线性方程.

5.〃（〃为正整数）阶第一类贝塞尔函数J”（x）的零点个数为（）

A.0个；B.1个；C.〃个；D.无数个.

二、填空题（每空2分，共10分）

6.计算函数In（-1）=

7.设C为逆时针方向沿圆周同=1的简单闭合曲线，则枳分

7

8.函数二一在孤立奇点/处的留数为___________

Z~+1

9.拉普拉斯变换

10.设工。）为勒让德多项式，贝IJR（-1）=

三、简答题（10分）

11.二阶线性常微分方程的标准形式为：之华+p（z）&M2+q（z）坡（z）=0,试简述方

dz“dz

程的常点和正则奇点，并写出常点和正则奇点邻域内方程级数解的形式.

四、证明题（10分）

12.证明函数/（z）=zRe（z）在z=（）点可导，但在复平面上处处不解析.

五、计算题(每小题10分，共60分)

14.分别在区域0〈忖＜1和1＜忖内将/(z)=,1_以z0=0为中心展开为罗朗级数.

2YIYI<1

15.求函数/(%)=<的傅里叶变换.

0|x|>l

求函数/(x)=(x-1)?+3。-2)的拉普拉斯变换.

文一/文=()

--rr—=0

dr

17.由达朗贝尔公式求解初值问题“〃(x")|r=o=COSX(-00<X<8">0,4〉0).

du(x.t)

/=o=sinx

~dT

d2u(x,t)d2u(x,t)

2,(0<x</,/>())

18.应用分离变量法求解如下定解问题(〃。/尤=0=空皿1=/=0(r＞0)

,=o=O,(0<x</)

《数学物理方法》考试试卷参考答案

一、单项选择题(每小题2分，共10分)

1.A；2.B；3.C；4.A；5.D.

二、填空题(每空2分，共10分)

12

6./7T；7.0；8.—；9.­r；10.1.

2$3

三、简答题(10分)

11.如果P(z)和q(z)在％点的邻域内解析，则Z0为方程的常点.

如果(z-Zo)p(z)和(z-Zo)%(z)在z0点的邻域内解析，则z0为正则奇点.

在常点Zo的邻域内方程存在一解析解，可展开为泰勒级数W，(Z)=£%(Z-Zo)〃.

在正则奇点Z。的邻域内方程至少存在一个如下形式的级数解

卬(z)=(z—Zo)〃Z%(z—Zo)".

四、证明题（10分）

12.已知W=〃+/=f(z)=zRe(z)=(工+方)》=%2+ay,所以〃(x,y)=%2,

v(x,y)=xy.

偏导数包=2x,生=0,包=)，,dv

---=X9它们均存在且连续.

dxdydx办

,.八.du=0="CU=0=-变

在z=()点，一,满足柯西-黎曼条件,

dx“三3・_0dx

所以函数f(z)=zRe(z)在z=0点可导，且导数/'(z=0)=电+j—

=0.

dxdxx=y=0

在z=0以外的点，函数的偏导数存在且连续，但不满足柯西-黎曼条件，因此导数不存

在.

所以函数在整个复平面上不解析.

五、计算题（每小题10分，共60分）

13.函数警■在圆周忖=1内只有z=（）一个三阶极点,

COSZ1d-cosz.1

可得留数Res[mrr3

z3二一。(3-1)!心21z32

COSZ

由留数定理可得=/2%Res[,0J=-j7l.

z3

111=1"8=100=&8,

14.当0＜同＜1时，/（£）=

22

z(l-z)z1-zZ<=0n=0w=-2

当1＜忖时,-<1,

Z

T=-7^81-3

f(z)=~=3

z-(l-z)z-±Z〃=0〃=0Zn=-^o

Z

15.『(⑼=F[f(x)]=ff{x}e^dx

=j2x-ew'dx=-2jj,rsin(fwx)tZr

..r1.,、/./cos69sin(y

=-4/xsm((wx)6Zr=4/---------—

Jok(0(0~

16./(X)=(X-1)2+3(X-2)=X2+X-5,

7Cv)=L[f(x)]=L[X2+X-5]=L[X2]+L[X]-〃5]

17.由达朗贝尔公式i/(x,r)=+—「+”》«)dj可得

2laJx~ar

I1产+1〃

u(xt)=—[cosa+，")+cosa-c〃)]+—sin)，，

y22aJx-a,

u(x,t)=cosxcos(7/+—sinxsinat.

18.(1)令〃(xJ)=X(x)T«),代入泛定方程可得两个常微分方程

,,

X(x)-AX(x)=Ot

T,f(t)-Aa2T(t)=O.

代入齐次边界条件可得：X(0)=XXD=0(r>0).

(2)求解本征值问题[X3一号工)=°可得

X(O)=X'(/)=()

/1、,1、

(〃——)7T(〃+—)7T

x

本征值：4二—[一匕本征函数：x/i(x)=sin-i^5=0[，2,…).

(3)求丁⑺,

/1、/1、/1、

5+不)不(〃+7)乃(〃+7)不

丁”(力+[—产/7m=0=>T(t)=Acosl__f/d+B.sinf—a]

(4)本征解为

(〃+—)7i(n+—)7i(n+—)7T

sin-x

%(x/)=Xn(x)Ttl(t)={Ancos[---F-a"+&sin[---F-)----r

8

原问题的解为本征解的线性叠加：.

w=n

(5)代入初始条件确定展开系数: