第一章 1.1 集合 2027高考数学一轮总复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.1集合2027高考数学一轮总复习内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义.2.能求两个集合的并集、交集与补集.3.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.202320242025新课标Ⅰ卷T1新课标Ⅰ卷T1全国一卷T2新课标Ⅱ卷T2

全国二卷T3必备知识回顾1.集合与元素(1)集合中元素的三个特性:

、

、

.(2)元素与集合的关系是

或

,用符号

或

表示.(3)集合的表示法:

、

、

.(4)常见数集的记法知识梳理集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)ZQR确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法2.集合的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中

都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作

(或B⊇A).(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且

,就称集合A是集合B的真子集,记作

(或B⫌A).(3)相等:若A⊆B,且

,则A=B.

1.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.2.任何集合都是自身的子集.任意一个元素A⊆Bx∉AA⫋BB⊆A3.集合的基本运算运算表示集合语言图形语言记法并集

交集补集{x|x∈A,或x∈B}A∪B{x|x∈A,且x∈B}A∩B{x|x∈U,且x∉A}∁UA知识拓展1.若集合A中有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子集,(2n-2)个非空真子集.2.若A⊆B,B⊆C,则A⊆C.3.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.4.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).5.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

基础检测×××√2.(人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编)已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩(∁UB)={1,3,5,7},则集合B=

.解析:因为U=A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A∩

(∁UB)={1,3,5,7},所以∁UB⊆A,所以∁UB={1,3,5,7},故B=∁U(∁UB)={0,2,4,6,8,9,10}.{0,2,4,6,8,9,10}3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T9改编)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a=

.解析:因为A∪B=A,所以B⊆A,所以a+2∈A.当a+2=3,即a=1时,A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,不符合题意;当a+2=a2时,a=-1(舍去)或a=2,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意.综上,实数a=2.24.(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|0<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围为

.解析:因为B⊆A,所以利用数轴分析法(如图),可知a≥2.[2,+∞)关键能力提升考点1

集合的含义与表示【例1】(1)(人教B版必修第一册P9练习BT4改编)已知集合A={2,|a+1|,a+3},且1∈A,则实数a的值为

.【解析】由集合A={2,|a+1|,a+3},且1∈A,得|a+1|=1或a+3=1,解得a=0或a=-2.当a=0时,A={2,1,3},符合题意;当a=-2时,|a+1|=1且a+3=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意.故实数a的值为0.0

-1解决与集合的基本概念有关问题的关键(1)确定构成集合的元素是点、数,还是其他类型.(2)确定元素的特征属性.(3)根据元素的特征(满足的限制条件)构造关系式解决相应问题.注意:集合中元素的互异性容易被忽略,求解问题时要特别注意.规律总结【对点训练1(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)∣x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是

(

)A.1

B.3 C.6

D.9解析:由题可得B={(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)},则集合B含有6个元素.故选C.C(2)(多选)(人教A版必修第一册P9习题1.2T1改编)下列结论错误的是(

)A.{y|y=x2+1,x∈R}={x|x=t2+1,t∈R}B.{y|y=x2+1,x∈R}={(x,y)|y=x2+1,x∈R}C.⌀={0}D.集合{a,b}的真子集为{a},{b}BCD解析:对于A,B,{y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),{x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示函数y=x2+1的图象上的点的集合,故A正确,B错误;对于C,⌀⫋{0},故C错误;对于D,集合{a,b}的真子集为⌀,{a},{b}(易错:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集),故D错误.故选BCD.

B

C1.判断集合间关系的常用方法规律总结2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析问题及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.注意:若B⊆A,则应分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.【对点训练2】

(1)(人教B版必修第一册P14练习BT2改编)集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}间的关系是

(

)A.M⊆P⊆S B.S=P⊆MC.S⊆P=M D.P=M⊆S解析:任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z,则a∈P,故M⊆P.任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z,则b∈M,故P⊆M,则M=P.任取c∈S,则c=10m1+3=5·(2m1)+3,m1∈Z,则c∈P,故S⊆P,又8∈P,8∉S,所以S⫋P.所以S⊆P=M.故选C.C

C考点3

集合的运算命题角度1

集合的基本运算【例3】

(1)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(

)A.{1,2,4,5} B.{1,3,4}C.{1,2,3,5} D.{4}【解析】

由A={1,3},B={2,3,5},得A∪B={1,2,3,5}.集合U={1,2,3,4,5},故∁U(A∪B)={4}.故选D.D

D1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,那么可用Venn图表示;如果集合是数集且其中的元素是连续的,那么可用数轴表示,此时要注意端点值的取舍情况.规律总结命题角度2

根据集合的运算求参数【例4】

已知集合M={x|y=ln(m-x)},N={x|x2-3x+2≤0},若M∩N=⌀,则m的最大值为(

)A.-2 B.-1C.1 D.2【解析】

M={x|y=ln(m-x)}={x|x<m},N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},数轴分析可知(如图),因为M∩N=⌀,所以m≤1,则m的最大值为1.故选C.C利用集合的运算求参数的方法(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍.(2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.注意:在求出参数后,注意对结果的验证(需满足集合中元素的互异性).规律总结【对点训练3】

(1)(2025·全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为(

)A.0 B.3C.5 D.8解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以∁UA={2,4,6,7,8},∁UA中元素的个数为5.故选C.C(2)已知集合A={x|x2+mx=0},B={1}.若A∪B={0,1},则m的值为(

)A.0 B.1C.-1 D.0或-1解析:由x2+mx=0可得x=0或x=-m,则当m≠0时,A={0,-m};当m=0时,A={0}.因为B={1},且A∪B={0,1},所以m=0或m=-1.故选D.D(3)(2025·浙江绍兴三模)设集合M={x|x2-x<0},N={x|-2<x<2},则(

)A.M∩N=⌀ B.M∩N=MC.M∪N=M D.M∪N=R解析:由x2-x<0,得x(x-1)<0,解得0<x<1,则M={x|0<x<1},N={x|-2<x<2},M∩N=M,M∪N=N.故选B.B考点4

集合的新定义问题【例5】

(多选)给定n∈N*,若集合P⊆{1,2,3,…,n},且存在a,b,c,d∈P,满足a<b≤c<d,b-a=d-c,则称P为“广义等差集合”.记P中元素的个数为|P|,则

(

)A.{1,2,3}是“广义等差集合”B.{1,3,4,6}是“广义等差集合”C.若P不是“广义等差集合”,则当n=8时,|P|的最大值为4D.若P不是“广义等差集合”,且|P|的最大值为4,则n可以是13ABC【解析】

对于A,取a=1,b=c=2,d=3,b-a=d-c=1,符合“广义等差集合”的定义,故A正确;对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6,b-a=d-c=2,符合“广义等差集合”的定义,故B正确;对于C,当n=8时,P⊆{1,2,3,…,8},若|P|=5,设P={a1,a2,a3,a4,a5},1≤a1<a2<a3<a4<a5≤8,由题意可知a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4两两不相同,则a5-a1=(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)≥1+2+3+4=10>7矛盾,|P|>5时同理,故|P|<5,当|P|=4时,取P={1,2,4,8},满足P不是“广义等差集合”,故|P|的最大值为4,故C正确;对于D,当n=13时,取P={1,2,4,8,13},这与|P|max=4矛盾,故D错误.故选ABC.解决以集合为背景的新定义问题的关键(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解集合新定义问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.规律总结

AD

容斥原理1.链接教材:(人教A版必修第一册P35复习参考题1T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?教材深研2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A版必修第一册P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下:(1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).【典例】

求精中学为丰富学生们的课余生活,开展了多种多样的学生社团活动,其中心理社、动漫社和地理社最受欢迎.高一某班有35名学生参加了这三个社团,其中有19人参加了心理社,有16人参加了地理社,有15人参加了动漫社,有6人参加了心理社和地理社,有5人参加了地理社和动漫社,已知每人至少参加一个社团,没有人同时参加三个社团,则只参加了一个社团的学生有(

)A.16人 B.18人C.20人 D.24人C【解析】设心理社为A,地理社为B,动漫社为C,则card(A∪B∪C)=35,card(A∩B∩C)=0,card(A)=19,card(B)=16,card(C)=15,card(A∩B)=6,card(B∩C)=5,得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),即35=19+16+15-6-5-card(A∩C),得card(A∩C)=4,则只参加一个社团的人数为19-(4+6)+16-(6+5)+15-(4+5)=20.故选C.高考真题教材典题1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(

)A.{0,1,2}

B.{1,2,8}C.{2,8}

D.{0,1}1.(人教B版必修第一册P16例1)求下列每对集合的交集:(1)A={1,-3},B={-1,-3};(2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8};(3)E=(1,3],F=[-2,2).考教衔接D解析:B={x|x3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}.故选D.高考真题教材典题2.(2023·全国乙卷理)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(

)A.∁U(M∪N)

B.N∪(∁UM)C.∁U(M∩N)

D.M∪(∁UN)2.(人教A版必修第一册P14习题1.3T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB).解析:对于A,M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},故A正确;对于B,∁UM={x|x≥1},则N∪(∁UM)={x|x>-1},故B错误;对于C,M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},故C错误;对于D,∁UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪(∁UN)={x|x<1或x≥2},故D错误.故选A.A课时作业1

基础巩固D2.(5分)(2026·天津静海区一模)给出下列命题:①π∈R;②{1,2024}={x|x2-2025x+2024=0};③⌀⊆{0};④{(1,-2)}⊆{(x,y)|y=x2-x-2}.其中真命题的个数为(

)A.1

B.2 C.3

D.4D解析:显然π∈R,⌀⊆{0}(提示:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集),故①③正确;{x|x2-2

025x+2

024=0}={x|(x-1)·(x-2

024)=0}={1,2

024},故②正确;在y=x2-x-2中,当x=1时,y=-2,即有(1,-2)∈{(x,y)|y=x2-x-2},因此{(1,-2)}⊆{(x,y)|y=x2-x-2},故④正确.综上,真命题的个数为4.故选D.3.(5分)设集合A={x∈N|-1<x<2},则A的真子集的个数为(

)A.8

B.7

C.4

D.3解析:A={x∈N|-1<x<2}={0,1},因为集合A中有2个元素,所以真子集的个数为22-1=3.故选D.D

A

B6.(5分)(2025·北京昌平区二模)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|1<x<3},则(∁UA)∩B=

(

)A.(1,2] B.(1,2)C.[2,3) D.(2,3)解析:由A={x|x≥2},U=R,得∁UA={x|x<2}.又B={x|1<x<3},所以(∁UA)∩B=(1,2).故选B.B7.(5分)(2025·浙江金华二模)设集合P={0,1,2},Q={x|x2-4>0},则

(

)A.P⊆Q B.Q⊆PC.∁RP⊆Q D.Q⊆∁RP解析:因为Q={x|x2-4>0}=(-∞,-2)∪(2,+∞),∁RP=(-∞,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,+∞),所以Q⊆

∁RP.故选D.D8.(5分)(2026·江苏南京一模)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|x+a≤0}.若A⊆B,则实数a的取值范围是

(

)A.(-∞,2) B.(-∞,2]C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]解析:由x2-4≤0可得A=[-2,2],由x+a≤0可得B=(-∞,-a].又A⊆B,所以2≤-a,即a≤-2.故选D.D9.(8分,多选)(2025·河南开封二模)已知集合A={x|-3<2x-1<3},∁RB⊆A,则

(

)A.-1∉B B.2∈BC.-1∈A∪B D.2∈A∩B解析:A={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.对于A,若-1∉B,则-1∈∁RB,则根据∁RB⊆A有-1∈A,显然矛盾,故A错误;对于B,假设2∉B,则2∈∁RB,根据∁RB⊆A有2∈A,显然矛盾,则2∈B,故B正确;对于C,由A知,-1∈B,则

-1∈A∪B,故C正确;对于D,显然2∉A,必有2∉A∩B,故D错误.故选BC.BC10.(8分,多选)已知全集U={x||x|<4,x∈Z},集合M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a},P={-3,-1,2,3},若M⊆N,则

(

)A.a的取值有3个B.M∩P={-1,2}C.P∪N={-3,-1,0,1,2,3}D.(∁UM)∩(∁UP)所有子集的个数为4BCD解析:对于A,因为M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a},且M⊆N,所以a2=1或a2=a,且a≠±1,a≠2,解得a=0,故a的取值只有1个,故A错误;对于B,M={-1,2,0},P={-3,-1,2,3},则M∩P={-1,2},故B正确;对于C,N={-1,1,2,0},P∪N={-3,-1,0,1,2,3},故C正确;对于D,U={x||x|<4,x∈Z}={x|-4<x<4,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3},则∁UM={-3,-2,1