浙江省杭州市2025-2026学年高一数学上学期12月月考试卷含解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.函数的定义域为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可．

【详解】因为函数，

所以，解之可得，

函数的定义域为．

故选：C．

2.已知，则“”是“”的（）

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断.

【详解】（1）因为，所以，

又，由，可得，

所以；

（2）因为，又，

当时，，由，可得，此时，

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当时，，由，可得，此时，

综上，，则“”是“”的充分不必要条件，

故选：C

3.如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为

，时到达点，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】设单位圆与轴正半轴的交点为，根据条件求得，进一步可得时到达点时，

求出，利用三角函数的定义可求得．

【详解】设单位圆与轴正半轴的交点为，

因为，则，

由于在第一象限，不妨取，

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因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，设经过5后，质点到达点，

，

于.

故选：B．

4.已知是定义在上的奇函数，，当时，，则

（）

A.3B.4C.D.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇函数的定义和性质，结合已知函数关系式及解析式，利用赋值法分别求出，

再合并计算求解．

【详解】是定义在上的奇函数，

，且，

，令，则，

，

令，则，，

，

，，

，

，故，

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，故D正确．

故选：D．

5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”

在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特

征，函数的图像大致是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D；当时，，可排除C；

由

，可排除B.

【详解】函数，由，即且且，

故函数的定义域为，

由，

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所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；

当时，，，所以，可排除C；

由，，，即，可排除B.

故选：A.

6.国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换

电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的

质保期至多为（）（参考数据：，）

A.12年B.13年C.14年D.15年

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.

【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，

由题意可得，，则，

两边取对数，即，则，

即，则，

因为，所以，则，又因为，

所以，

故选：C.

7.当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（）

A.5B.8C.12D.16

【答案】B

【解析】

【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得．

【详解】，则，

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因为，

所以

，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是8.

故选：B．

8.已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求

出实数a的取值范围.

【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.

若时，由解得或，满足题意.

若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零

点，因为函数恰有2个零点，所以且.

当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.

综上，

故选：D

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

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9.已知，，则下列结论正确的是（）

A.B.C.D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由平方关系求得，从而确定可提范围，再由平方关系求得，

用方程组思想求得，最后由商数关系求得

【详解】由得，

，又，，所以，所以，A正确；

，D正确；

结合可得，，B正确；

，C不正确．

故选：ABD．

10.已知函数（且）的部分图象如图所示，则（）

A.B.

C.D.函数的零点小于1

【答案】AD

【解析】

【分析】利用指数函数单调性即可判断A；根据即可判断B；根据范围即可判断C；利用对

数函数单调性放缩即可判断D.

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【详解】对于A，由图可知单调递减，所以，故A正确；

对于B，由题意得，解得，故B错误；

对于C，由，，可得，所以，故C错误；

对于D，由，得，

因为，所以，即函数的零点小于1，故D正确.

故选：AD.

11.定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，

，则（）

A.B.在上单调递增

C.当时，D.当时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、放缩法（累乘法）对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A，由，取，

得，故A正确；

对于B，任取，则，依题意，，而，

则，即，即在上是增函数．

于是，对于，任取，因，则，

即，即函数在上单调递增，故B正确；

对于C，由，取，因，故，

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即，故C不正确；

对于D，由，取，可得，，

整理得，，

因，所以且，故，即，

，故D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12已知实数m，n满足，则________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据指对数互化式和对数的运算性质求解即可.

【详解】，.

所以.

故答案为：1

13.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正

方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________．

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【答案】##

【解析】

【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三

角函数基本关系即可求解.

【详解】直角三角形中较小的内角为，斜边为1，

则直角三角形的两条直角边分别为，

所以小正方形的边长为，即，

也即，可得，

因，

因为锐角，则.

故答案为：.

14.已知，，，，则__________.

【答案】3

【解析】

【分析】构造函数，可得，结合单调性可得，

即可得解.

【详解】因为，显然，所以，

又，显然，

所以，

令函数，则，

易知在上单调递增，，

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所以在上有唯一的零点，

所以，即，

所以.

故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知.求值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）诱导公式化简后，分子分母同时除以，进一步计算即可；

（2）分母变为，分子分母同时除以，进一步计算即可.

【小问1详解】

因，

所以原式；

【小问2详解】

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因为，

所以原式.

16.已知函数．

（1）求；

（2）判断曲线的图象是否中心对称图形，若是请写出对称中心坐标；

（3）如图所示，小杜同学画出了在区间上的图象，试通过图象变换，在图中画出在

区间上的示意图；

【答案】（1）

（2）是，对称中心为

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式将函数表达式化简计算可得结果；

（2）结合（1）中结论以及函数对称中心定义即可判断；

（3）根据中心对称图象特征作出其关于成中心对称的图象即可.

【小问1详解】

由可知

；

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因此

【小问2详解】

根据（1）中分析由可知的图象是中心对称图形，其对称中心为；

【小问3详解】

结合已有图象以及函数的对称中心，只需作出函数在区间上的图象关于成中心

对称的图象即可；

可在区间上取关键点，它们关于点对称的点坐标为

，用平滑的曲线连接即可做出对称的图象如下图所示：

17.已知函数且.

（1）若，函数，求的定义域；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可；

（2）分和两种情况，分别研究和恒

成立问题，即可得到答案.

【小问1详解】

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，代入可得：

，

有意义可得，所以，

的定义域为.

【小问2详解】

.

因为且，所以恒成立.

若，则函数是增函数.

因为，所以，即.

设，要使时，恒成立，

只需或

解得.

故符合题意.

若，则函数是减函数.

因为，所以，即.

结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立.

故不符合题意.

综上，的取值范围为.

18.函数．

（1）若，求函数的零点；

（2）若函数在有两个不同零点

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①求实数的取值范围；

②证明：．

【答案】（1）或

（2）；证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求出解析式，再分类讨论求函数的零点；

（2）先分类讨论求出零点所在区间，结合函数性质和零点存在定理列不等式组求出的取值范围；根据零

点所在位置化简等式，并利用零点的取值范围证明结论．

【小问1详解】

，

，

当，即时，，

令，解得，符合条件；

当，即或时，，

令，解得，不满足，舍去，

；

函数的零点为或．

【小问2详解】

①，

当时，，

当时，，函数开口向上，，有两个异号实根，

在有两个不同零点，则需满足在有一个零点：

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令，解得，解得；

在有一个零点：

由零点存在定理得且，即

，

实数的取值范围是．

②设，