高中数学必修第1册第二章检测卷（解析版）

Page1Page2Page1第二章单元评估测试解析(满分150分)班级：姓名：一、单选题(共8小题，每题5分，共40分)1.函数y=2x2－3x＋的零点个数是()A.0B.1C.2D.无法确定【答案】B解析：零点就是y=0时，方程2x2－3x＋=0的根.△=(－3)2－4×2×=0，方程两根相同，函数有1个零点，故选B.2.二次函数y=ax2＋bx＋c的图像如图(1)所示，则不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为()A.{x0}B.∅C.{x|x≠x0}D.R【答案】A解析：ax2＋bx＋c≥0，即y≥0.根据图像可知，只有在x-x0时，y=0.x取其它任何实数时，y都是负值，故选A.3.代数式x2＋取得最小值时对应的x值为()A.2B,C.±2D.±【答案】D解析：x2在分母的位置，则x2>0.x2＋≥2=4，当且仅当x2=，即x4=4，x2=2，x=±时，取等号，故选D,4.用一段长为l的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(墙足够长)，菜园的面积最大时()A.菜园为正方形B.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边长C.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边比邻边短D.菜园为邻边为2倍关系的矩形，且靠墙的边和邻边无法比较长短【答案】B解析：设菜园的相邻两边长分别为x(靠墙的边)，y，则x＋2y=l.菜园面积S=xy=≤()2=，当且仅当，即时，取等号，故选B.5.∀xR，2x2+5x+6>x2＋3x＋m，m的值可以为（）A.7B.6C.5D.4【答案】D解析：∀xR，2x2+5x+6>x2＋3x＋mx2＋2x＋6－m>0.△=22－4(6－m)<0，m<5，故选D.6.下列命题中，真命题的个数是（）①若a>b>0，则ac2>bc2②若a>b>0，则a2>b2③若a<b<0，则a2>ab>b2④若a<b<0，则>A.1B.2C.3D.4【答案】C解析：对于①，c=0时，ac2=bc2，是假命题；对于②，根据正数同向不等式可乘方的原则可知，是真命题；对于③，∵a<b，a<0，∴a2>ab；∵a<b，b<0，∴ab>b2，根据不等式的传递性可知，此选项为真命题；对于④，－=2(－)=2.∵a<b<0，∴b－a>0，ab>0，∴－=2>0，>.此选项为真命题..综上，选项为C.7.不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x－2<x<5}，对于函数y=ax2＋bx＋c有下列说法：①图象开口朝下；②零点确定；③a、b、c的值确定；④对称轴确定正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C解析：不等式大于0，取中间，可断定a<0，函数图像开口朝下，①正确；－2，5是对应方程的根，也是对应函数的零点，②正确；根据韦达定理，，即，所以a、b、c的值不确定，对称轴方程为x=－=－=.所以③不正确，④正确.综上，选C.8.已知非负实数a，b满足a＋b=1，则＋的最小值()A.1B.2C.3D.4【答案】A 解析：a＋b=1，(a＋1)＋(b＋2)=4.＋=(＋)=[(a＋1)＋(b＋2)](＋)=(2＋＋)≥(2＋2)=1.当且仅当，即时，取等号.综上，＋的最小值为1，选A.二、多选题(共4小题，每题5分，共20分)9.已知则下列不等式中恒成立的是A.已知a，b为正数，则a＋b＋≥2B.已知a，b∈R，则a2＋b2＋2≥2a＋2b

C.已知a，b为正数，则≥2 D.已知a，b为正数，则>ab【答案】ABC解析：对于A选项，a＋b＋≥2＋≥2=2，正确；对于B选项，(a2＋b2＋2)－(2a＋2b)=(a2－2a+1)＋(b2－2b＋1)=(a－1)2＋(b－1)2≥0，正确；对于C选项，≥=2，正确；对于D选项，≤=，不正确.综上，选项ABC.10.下列不等式中无解的是A.x2＋2x+4<0 B.x2－8x＋16≤0

C.－x2－3x－>0 D.2x2+ax－3a2≥0【答案】AC解析：对于A选项，对应二次函数开口朝上，△<0，y值恒正，此不等式无解；对于B选项，对应二次函数开口朝上，△=0，y值非负，此不等式有解(可以取等)；对于C选项，对应二次函数开口朝下，△=0，y值非正，此不等式无解；对于D选项，对应二次函数开口朝上，△=25a2≥0，y值不可能皆负，此不等式有解.综上，选AC.11.下列结论正确的是A.若函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)对应的方程没有根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集R；

B.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的充要条件是a<0，且△=b2－4ac≤0；

C.若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－；

D.不等式>1的解集为{x|0<x<1}．【答案】CD解析：对于A选项，a<0时，对应的方程没有根，ax2＋bx＋c>0的解集为∅，不正确；对于B选项，“ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立”推不出“a<0，且△=b2－4ac≤0”，反例：0x2＋0x－1≤0在R上恒成立，但a=0.此选项不正确；对于C选项，分两种情况考虑：①当a=0时，x－1≤0的解集不是R；②当a≠0时，ax2＋x－1≤0的解集为R，所以，即a≤－.此选项正确；对于D选项，>1，－1>0，>0，x(1－x)>0，0<x<1.正确.综上，选CD.12已知的斜边长为则下列关于△ABC的说法中，错误的是A.周长的最大值为2＋2 B.周长的最小值为2＋2

C.面积的最大值为2 D.面积的最小值为1【答案】BCD解析：设斜边为c，则c=2，a2＋b2=4.先研究面积：S=ab≤⋅=1，当且仅当，即a=b=时，取等号，所以面积的最大值是1.C、D选项都是错误的；再研究周长：a2＋b2=4.，(a＋b)2－2ab=4，(a＋b)2－2()2≤4，(a＋b)2≤8，a＋b≤2，当且仅当，即a=b=时，取等号，所以a＋b的最大值为2，周长的最大值为2＋2.综上，选BCD.三、填空题(共4小题，每题5分，共20分)13.已知集合A={x}，B={x|x2－4x＋3>0}，则A∩B=；【答案】{x|－2<x<1}.解析：A={x}={x}，B={x|x2－4x＋3>0}={x|x<1或x>3}.A∩B={x|－2<x<1}.14.∀xR，有意义，a的取值构成的集合为；【答案】{a|0≤a≤1}解析：∀xR，有意义，即ax2－2ax＋1≥0的解集为R.分情况讨论：当a=0时，0x2－2⋅0x＋1≥0的解集是R，符合题意；当a≠0时，，即0<a≤1.综上，a的取值构成的集合为{a|0≤a≤1}.15.若正实数x，y满足2x＋y＋6=xy.设t=2x＋y，t的取值范围构成集合A.∃t∈A，t≤m，则m的最小值等于__________．【答案】12解析：2x＋y＋6=xy，2x＋y＋6=⋅2x⋅y，(2x＋y)＋6≤()2，(2x＋y)2－8(2x＋y)－48≥8，(2x＋y＋4)(2x＋y－12)≥0，∵2x＋y＋4>0，∴2x＋y－12≥0，2x＋y≥12.当且仅当，即时，等号成立.综上，2x＋y的最小值是12，即t的最小值为12，m的最小值是12.16.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=6，b＋c=8，则此三角形面积的最大值为【答案】3解析：p==7，S==.－b=>0，则>b，即b<7，7－b>0；同理7－c>0.≤⋅=⋅=3.当且仅当，即b=c=4时，取等号.综上，三角形面积的最大值为3.四、解答题(共6题，17题10分，其余各题每题12分，共70分)17.已知集合A={x≥0}，集合B={x|ax>1}.若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围.解析：A={x≥0}={x}={x1≤x<2}.根据题意，AB，所以B≠∅，a≠0，且a值不可能为负值(若a<0，则B中元素都是负数，而A中元素都是正值，A不可能真包含于B).综上，a>0，B={x|ax>1}=B={x|x>}，，即a>1.18.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价有什么限制？销售的总收入最高时，定价多少？解析：设提价后的定价为每本x元.(8－)x≥20，[8－2(x－2.5)]x－20≥0(13－2x)x－20≥013x－2x2－20≥02x2－13x＋20≤02x2－13x＋20=0的两根分别为、4，∴不等式的解集为{x|≤x≤4}.综上，要确保销售的总收入不低于20万元，提价后的定价即不低于2.5元，也不高于4元.销售的总收入y=(8－)x=－2x2＋13x对称轴方程为x=.所以定价为元时，销售的总收入最高.19.对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0，写出满足下列条件的关于a、b、c的不等式组.（1）有两个不等正根；（2）有两个不等负根；（3）两根异号；（4）两根一个比1大，一个比1小.解析：设方程的两部不等根分别为x1、x2,(1)，；（2），；(3)，；(4)，.20.(1)设a，b，c∈R，a＋b＋c=1，证明：ab＋bc＋ac≤；(2)已知a>b>c，求证：≥．(1)证明：a＋b＋c=1(a＋b＋c)2=1a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1＋＋＋2ab+2bc+2ac=1＋＋＋2ab+2bc+2ac≤13ab+3bc+3ac≤1ab＋bc＋ac≤，命题得证.(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，≥⇔≥⇔[(a－b)＋(b－c)]()≥4⇔2＋＋≥4⇔＋≥2∵＋≥2=2，∴命题得证.21.(1)若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|b<x<1}，求a，b的值；(2)求关于x的不等式ax2＋2x＋1>－ax－1(a>0)的解集．解析：(1)b、1是方程ax2＋2x＋1=0的两根，根据韦达定理，得，.(2)ax2＋2x＋1>－ax－1ax2＋(a＋2)x＋2>0(ax＋2)(x＋1)>0(ax＋2)(x＋1)=0的根为－，－1.当－<－1，即0<a<2时，不等式解集为{x|x<－，或x>－1}；当－=－1，即a=2时，，不等式解集为{x∈R|x≠－1}；当－>－1，即a>2时，不等式解集为{x|x<－1，或x>－}.22.已知不等式x2－ax＋a－2>0(a>2)的解集为{x|x<x1，或x>x2}.(1)求x1＋x2＋的最小值M；(2)若正数a，b，c满足a＋b＋c=，求证：＋＋≥2(1)解析：△=a2－4(a－2)=a2－4a＋8=(a－2)2＋4>0.x1＋x2＋=a＋=(a－2)＋＋2≥2＋2=4.当且仅当a－2=，即a=3时，取等号.综上，x1＋x2＋的最小值是4，即M=4.(2)证明：a＋b＋c=2.＋＋=(＋a)＋(＋b)＋(＋c)－2≥2＋2＋2－2=2b＋2c＋2a－2=2(a＋b＋c)－2=2×2－2=2.命题得证.第二章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式x2-2x-8≥0的解集是()A.{x|-2≤x≤4} B.{x|x≤-2或x≥4}C.{x|-4≤x≤2} D.{x|x≤-4或x≥2}2.已知a>0,b>0,且满足a3+b4=1,则A.2 B.3 C.4 D.63.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-1<x<4},则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为()A.x-23<C.x-43<4.[2024湖北孝感高一月考]不等式2x+1x-A.{x|-3≤x≤2} B.{x|x≤-3}C.{x|-3<x<2} D.{x|x≤-3或x>2}5.[2024山东泰安高一单元检测]在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一:小明将5克的砝码放在天平左盘,取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳将20克的砝码放在右盘,取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品()A.大于20克 B.小于20克 C.大于等于20克 D.小于等于20克6.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴的上方,则实数k的取值范围为()A.{k|1<k<19} B.{k|1≤k≤19}C.{k|1<k≤19} D.{k|1≤k<19}7.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m恒成立,则A.10 B.9 C.8 D.78.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是()A.{9x-y|-7≤9x-y≤26} B.{9x-y|-1≤9x-y≤20}C.{9x-y|4≤9x-y≤15} D.{9x-y|1≤9x-y≤15}二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设a>b>1,c<0,下列四个结论正确的有()A.ca>cbC.a(b-c)>b(a-c) D.a10.[2024河北石家庄高一期末]已知实数a,b满足a>b>0且a+b=1,则下列说法正确的是()A.a<12 B.ab≥C.ab>b2 D.4a11.[2024湖北孝感高一月考]已知不等式ax2+2bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥3},则下列结论正确的是()A.a<0 B.a+b+c<0C.c>0 D.cx2-2bx+a<0的解集为x三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设a,b为实数,比较两式的值的大小:a2+b22a-2b-2(用符号“>”“≥”“<”“≤”或“=”填空).

13.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:十万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示),则每辆客车营运年时,年平均利润最大.

14.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0,对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围是.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x>2或x<1}.(1)求b和c的值;(2)求不等式cx2+bx+1≤0的解集.16.(15分)(1)已知x>1,求4x+1x(2)解关于x的不等式x2-(a+3)x+3a<0,a∈R.17.(15分)设a为实数,函数y=ax2+ax+1.(1)若方程y=0有实根,求a的取值范围;(2)若不等式y>0的解集为R,求a的取值范围.18.(17分)某服装厂拟在2024年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)m(单位:万件)与年促销费用x(0≤x≤10)(单位:万元)满足m=3-1x+1.(1)将2024年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数;(2)该服装厂2024年的促销费用投入多少万元时,利润最大?19.(17分)[2024湖南张家界高一期中]已知x,y都是正数.(1)若2x+3y=3,求xy的最大值;(2)若1x-y+12y答案：1.B不等式x2-2x-8≥0可化为(x+2)(x-4)≥0,解得x≤-2或x≥4.即不等式的解集为{x|x≤-2或x≥4}.故选B.2.B因为a>0,b>0,且满足a3+所以1≥2a3·b4,化为ab≤3,当且仅当a=32,b=2时,等号成立,则ab的最大值是3.B∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<4},∴x=-1和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0.∴-解得b∴不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为-3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0.又a<0,∴上式等价于3(x2-1)-(x+3)+4>0.整理,得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)>0,解得x>1或x<-23.故不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为xx>1或4.C2x+1x-2<1⇒2x即(x+3)(x-2)<0,解得-3<x<2,所以不等式的解集为{x|-3<x<2}.故选C.5.C设天平左、右两边臂长分别为a,b,小明、小芳放入的药品的克数分别为x,y,则由杠杆原理得5a=bx,ay=20b,于是x=5ab,y=故x+y=5ab+20b当且仅当a=2b时,等号成立.故选C.6.D因为y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方,①当k2+4k-5=0时,解得k=-5或k=1,当k=-5时,函数y=24x+3为一次函数,不满足条件;当k=1时,函数y=3满足条件;故k=1;②当k2+4k-5≠0时,函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3为二次函数,则k解得1<k<19.综上,实数k的取值范围为{k|1≤k<19}.故选D.7.B由已知得2a+1b=2(2a+b)a+2a+bb=4+当且仅当a=b=13时,等号成立又2a+1b∴m≤9,即m的最大值等于9.故选B.8.B令m=x-y,n=4x-y,则x则z=9x-y=83n-53∵-4≤m≤-1,∴53≤-53m≤又-1≤n≤5,∴-83≤83∴-1≤z=9x-y=83n-53m≤20.故选9.ABC∵a>b>1,c<0,∴ca−cb=c(∵a>b,c<0,∴ac<bc,B正确;∵a>b>1,c<0,∴a(b-c)-b(a-c)=ab-ac-ab+bc=-c(a-b)>0,∴a(b-c)>b(a-c),C正确;ac−bc=a-bc,又a-b>0,c<0,∴a-10.CD对于A,当a=23,b=13时,成立,故A对于B,当a=23,b=13时,ab=29<1对于C,因为a>b>0,根据不等式的性质可知,ab>b2,故C正确;对于D,4a+1b=4a+1b(a+b)=5+ab当且仅当ab=4ba,a=2b,即a=23,b=13时,等号成立,11.ACD由题意知,-1和3是方程ax2+2bx+c=0的两根,且a<0,所以-1+3=-2ba,(-1)×3=ca,则b=-a,c=-3a.因为a<0,所以b>0,c>0,a+b+c=a-a-3a=-3a>0,故AC正确不等式cx2-2bx+a<0等价于-3ax2+2ax+a<0,即3x2-2x-1<0,解得-13<x<所以cx2-2bx+a<0的解集为x-13<x<1,故12.≥因为a2+b2-(2a-2b-2)=(a-1)2+(b+1)2≥0,a=1,b=-1时,等号成立,所以a2+b2≥2a-2b-2.13.5二次函数图象的顶点为(6,11).设y与x的关系式为y=a(x-6)2+11(a≠0),代入点(4,7),解得a=-1.所以y=-x2+12x-25,年平均利润为yx=-x2+12x-25x=-(x+25x当且仅当x=25x,即x=5时,等号成立14.{m|2-23<m<2+23}设y=x2-mx+m+2=(x-m2)2-m24①当m2≤-2,即m≤-4时,此时y在x=-2处取最小值,最小值为4+2m+m+2=3m+6>0,解得m>-2又m≤-4,∴无解;②当-2<m2<4,即-4<m<8时,此时y在x=m2处取最小值,最小值为-m24解得2-23<m<2+23.又-4<m<8,∴2-23<m<2+23;③当m2≥4,即m≥8时,此时y在x=4处取最小值,最小值为16-4m+m+2=18-3m>∴m<6.又m≥8,∴无解.综上,m的取值范围为{m|2-2