高中数学选择性必修2全书知识点

第四章数列一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．二．等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等比数列性质1、定义；,2、通项公式3、前n项和4、中项a、A、b成等差数列A=；是其前k项与后k项的等差中项，即：=a、A、b成等比数列（不等价于，只能）;是其前k项与后k项的等比中项，即：5、下标和公式若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则6、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和,即：等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积,即：7、结论{}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列{}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列{},{}的公差分别为,则数列{}仍为等差数列，公差为（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列{},{}的公比分别为,则数列{}仍为等比数列，公差为取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为若则无此性质；若则无此性质；若无此性质；成等差数列，公差为成等差数列，公比为当项数为偶数时，当项数为奇数时，，当项数为偶数时，当项数为奇数时，8、等差(等比)数列的判断方法①定义法：②等差中项概念；③函数法：关于n的一次函数数列是首项为p+q，公差为p的等差数列；④数列的前n项和形如(a，b为常数)，那么数列是等差数列，①定义法：②等差中项概念；③函数法：(均为不为0的常数，)，则数列是等比数列．④数列的前n项和形如(均为不等于0的常数且q≠1)，则数列是公比不为1的等比数列．9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列一元函数的导数及其应用一、导数的概念1.函数的平均变化率：定义：一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，，则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率．注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率．函数的导数：“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，”或“”．3．可导与导函数：定义：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：意义：设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于． 2.求曲线的切线方程方法：若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.切线的方程为.三.导数的运算1、初等函数的导数公式表，为正整数，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．2、导数的四则运算法则（1）.函数和（或差）的求导法则设，是可导的，则，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．（2）.函数积的求导法则设，是可导的，则，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．综上所述：，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．（3）.函数的商的求导法则设，是可导的，，则．特别是当时，有．3、复合函数的求导法则法则：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数。那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数四.利用导数研究函数的单调性1.单调性【定理】设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少.【解读】设函数在某区间内可导，在该区间上单调递增；在该区间上单调递减.反之，若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）.2.求可导函数单调区间（1）确定函数的的定义区间；（2）求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；（3）把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；（4）确定在各个区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性.五.利用导数研究函数的极值与最值1.函数的极值定义：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点．2.求函数的极值的三个基本步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值.3.求函数最值（1）求函数在区间上的极值；（2）将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值综合测评一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=2,S4=6,则S8=()A.22 B.24 C.28 D.302.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为()A.y=2x-e B.y=-2x-eC.y=2x+e D.y=-x-13.在等差数列{an}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前14项和为()A.20 B.21 C.42 D.844.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a4=94,S6=9S3.若bn=log2an,则数列{bn}的前10项和是(A.-35 B.-25 C.25 D.355.中国明代商人程大位对书法和数学颇感兴趣,他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.该书第五卷有问题云:“今有白米一百八十石,令三人从上互和减半分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”大致意思是:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三个人来分,他们分得的米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少石米?”则甲应该分得()A.78石 B.76石 C.75石 D.74石6.已知函数f(x)=x2-ax-xlnx,a∈R,若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1) B.(-∞,1]C.(1,+∞) D.[1,+∞)7.[河南南阳期末]对于函数f(x)=sinx+x-ex,x∈[0,π],下列说法正确的是()A.函数f(x)有唯一的极大值点B.函数f(x)有唯一的极小值点C.函数f(x)有最大值没有最小值D.函数f(x)有最小值没有最大值8.已知f(x)为定义在R上的可导函数,f'(x)为其导函数,且f(x)<f'(x)恒成立,e是自然对数的底数,则()A.f(2022)<ef(2023)B.ef(2022)<f(2023)C.ef(2022)=f(2023)D.ef(2022)>f(2023)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,下列说法正确的是()A.(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间B.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值10.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是()A.公差d>0B.a1<0C.当n=5时,Sn最小D.当Sn>0时,n的最小值为811.[重庆长寿校级期末]已知数列{an}中,a1=2,an+1=(an+2+1)2-2,则关于数列{an}的说法正确的是(A.a2=5B.数列{an}为递增数列C.an=n2+2n-1D.数列1an+1的前12.已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是()A.ln2>2e B.ln3<C.lnπ>πe D.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=alnx+bx2在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x-3,则a=,b=.

14.[天津津南期末]随着双减政策的落地,小明决定利用写完作业后的时间进行了一次“阅读经典”的活动,阅读书籍共1200页.他第一天只读了10页,之后采取了积极措施,从第二天起每一天阅读的量都比前一天多10页.在这次“阅读经典”活动中,小明一共进行的天数为.

15.在数列{an}中,已知a1=2,anan-1=2an-1-1(n≥2,n∈N*),记数列{an}的前n项之积为Tn,若Tn=2023,则n的值为.

16.[北京丰台期末]已知函数f(x)=alnx-(x-1)2(a∈R)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),给出下列四个结论:①函数f(x)有零点;②a的取值范围是-12,+∞;③x2>1;④f(x2)>0.其中所有正确结论的序号是.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)过函数y=f(x)=x3图象上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线.(1)求出当Δx=0.1时割线的斜率;(2)求y=f(x)=x3在x=x0处的瞬时变化率.18.(12分)[浙江杭州校级期末]等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=-2,S3=-24,求:(1)数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前n项和Sn的最小值.19.(12分)设a∈R,函数f(x)=13x3-12(2a+1)x2+(a2+a)(1)若函数g(x)=f'(x)x(x(2)若函数f(x)在x=2处取得极小值,求实数a的值.20.(12分)[山东青岛崂山期末]某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图中(1),(2),(3),(4)为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求f(6)的值;(2)求出f(n)的表达式;(3)求证:当n≥2时,1f(1)+21.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.(1)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)令bn=3n·(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex.(1)若a∈(0,+∞),讨论f(x)在(0,a)上的单调性;(2)若函数g(x)=f(x)-m(x-1)2在[1,2]上的最大值小于-2e3,求实数m的取值范围综合测评1.D设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,则q≠1,所以S2=a1(1-q2)1所以1-q41-q解得q2=2,a11所以S8=a1(1-q8)1-q=-故选D.2.Ay'=lnx+1,则曲线在点(e,e)处的切线斜率为lne+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选A.3.B由4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,得12a4+12a11=36,即a4+a11=3,则数列{an}的前14项和为14(a1+a14)2=7(4.C设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1,则a解得a所以an=14×2n-1=2n-3所以bn=n-3,所以数列{bn}的前10项和T10=10(b1+b10)2=5×故选C.5.A今有白米一百八十石,甲、乙、丙三个人来分,设他们分得的米数构成等差数列{an},只知道甲比丙多分三十六石,因此公差d=a3-则前3项和S3=3a1+3×22×(-解得a1=78.所以甲应该分得78石.6.B因为f(x)=x2-ax-xlnx(a∈R),定义域为(0,+∞),所以f'(x)=2x-a-lnx-1,依题意f'(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,即2x-a-lnx-1≥0在区间[1,+∞)上恒成立,所以a≤2x-lnx-1在区间[1,+∞)上恒成立,令g(x)=2x-lnx-1,x∈[1,+∞),则g'(x)=2-1x=2x-1x>0,g(x)所以g(x)在x=1处取得最小值,即g(x)min=g(1)=2×1-ln1-1=1,所以a≤1.故选B.7.A∵f(x)=sinx+x-ex,x∈[0,π],∴f'(x)=cosx+1-ex,令h(x)=f'(x),则h'(x)=-sinx-ex<0在区间(0,π)上恒成立,则f'(x)=cosx+1-ex在区间(0,π)上单调递减,而f'(0)=1>0,f'(π)=-eπ<0,∴存在x0∈(0,π),使得当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,又f(0)=-1,f(π)=π-eπ<-1,则函数f(x)有唯一的极大值点,且函数f(x)有最大值和最小值.故选A.8.B令F(x)=f(则F'(x)=f'(因为f(x)<f'(x),所以F'(x)>0,故函数F(x)在R上单调递增,所以F(2023)>F(2022),故f(即ef(2022)<f(2023).9.ABD由题图可知,当x<-1或3<x<5时,f'(x)<0;当x>5或-1<x<3时,f'(x)>0,所以函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,5),单调递增区间为(-1,3),(5,+∞),所以函数y=f(x)在x=-1,x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值,故选项C错误,ABD正确.10.ABD因为{an}是等差数列,a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,则a1<0,故A,B正确.因为Sn=d2n2+a1-d2n=d2n2-7d2n=d2n-722由n∈N*可知,当n=3或n=4时,Sn最小,故C错误,令Sn=d2n2-7d解得n<0或n>7,又n∈N*,故当Sn>0时,n的最小值为8,故D正确.故选ABD.11.BCD由an+1=(an+2+1)2得an+1+2=(an+2+1)即an+1又a1=2,a1+2所以{an+2}是以2为首项,1所以an+2=2+(n-1)×1即an=n2+2n-1,所以a2=7,故A错误,C正确.由an=(n+1)2-2,可知{an}为递增数列,故B正确.1an所以数列1an+1的前n项和为121-13+12−14+13−15+…+1n-故选BCD.12.ACD构造函数f(x)=lnx-xe(x>0),f'(x)=1x−1e=e-xex,所以在区间(0,e)上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在区间(e,+∞)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(e)=lne-1=0,故f(x)≤0,当且仅当x=e时等号成立.即lnx-xe≤0,lnx≤xe,当且仅当x=e时等号成立.所以ln2<2e,lnπ<πe,AC选项错误,ln3<3e,B选项正确.构造函数g(x)=lnxx(x>0),g'(x)=1-lnxx2,所以在区间(0,e)上,g'(x)>0,g(x)单调递增;在区间(e,+∞)上,g'(x13.21由题得f'(x)=ax+2bx又f(1)=1,f'(1)=4,即b=1,a1+2b×1=所以a=2,b=1.14.15由题意可得“阅读经典”活动小明每天的读书页数为等差数列,设该等差数列为{an},由题意可得首项a1=10,公差d=10,则通项公式an=a1+(n-1)d=10+10(n-1)=10n,所以数列的前n项和Sn=n(a1+an)2设n天读完,则5n2+5n=1200,即n2+n-240=0,n∈Z,解得n=15或n=-16(舍去),所以n=15.15.2022由anan-1=2an-1-1(n≥2,n∈N*)及a1=2,得a2=32,a3=43,a4=54,…,猜想an经检验an=n+1n数列{an}的前n项之积为Tn=21×32×43∴当Tn=2023时,n的值为2022.16.①④显然f(1)=0,①正确;函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax-2(x-1)=-2x由于f(x)存在两个极值点,则-2x2+2x+a=0有两个不相等的正根,所以-解得-12<a<0,②错误令f'(x)=0,得-2x2+2x+a=0,解得x1=-2+4+8a-4=又-12<a<则0<x1<12,12<x2<由前面分析可知,函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,所以f(x2)>f(1)=0,④正确.17.解(1)当Δx=0.1时,1+Δx=1.1,故1+Δy=1.13=1.331,故kPQ=1.331-11(2)ΔyΔx=(x0+Δx)3-x0则瞬时变化率f'(x0)=lim=limΔx→0[3x02+3x0·Δx+(Δx)18.解(1)由已知得a解得a所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)Sn=na1+n(n-1)2d=n2-11n=n-11当n=5或6时,Sn有最小值-30.19.解(1)由已知,得f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a,g(x)=f'(x)x=x+a2+ax∵g(x)=f'(x)x(x∴∀x≠0,g(-x)+g(x)=0,即-2a-1=0,∴a=-12(2)f(x)的定义域为R,f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a)a(a,a+1)a+1(a+1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴f(x)在x=a+1处取得极小值,∴a+1=2,∴a=1.20.(1)解根据题意,由题干中的图形可得f(1)=1,f(2)=1+4=5,f(3)=1+4+8=13,f(4)=1+4+8+12=25,f(5)=1+4+8+12+16=41,f(6)=1+4+8+12+16+20=61.(2)解根据题意,f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,……由此类推:f(n+1)-f(n)=4n.则f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(3)-f(2)]+[f(2)-f(1)]+f(1)=4(n-1)+4(n-2)+…+4×2+4×1+1=4[1+(n-1)](n-1)2(3)证明由(2)的结论,f(n)=2n2-2n+1,当n≥2时,1f(则1f(