5.3.2 函数的极值与最大(小)值（2）B提高（解析版）

5.3.2函数的极值与最大(小)值（2）-B提高练一、选择题1．函数的最小值是（）A． B． C． D．不存在【答案】C【详解】由题意得，.令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.故选：C.2．已知函数在上的最大值为，则a的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，当时，若，则单调递减，若，则单调递增，故当时，函数有最大值，解得，不符合题意.当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.当时，函数在上单调递减.此时最大值为，解得，符合题意.故a的值为.故选：A.3．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，.当时，，在上单调递增，不合题意.当时，，在上单调递减，也不合题意.当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.综上，的取值范围是.4．设函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，若，可得，函数为增函数，当时，，不满足对任意恒成立；若，由，得，则，∴当时，，当时，，∴.若对任意恒成立，则恒成立，若存在实数，使得成立，则，∴，令，则.∴当时，，当时，，则.∴.则实数的取值范围是.5．（多选题）设的最大值为，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】AB【详解】对于选项A，当时，在区间上递减，所以，故选项A正确.对于选项B，当时，，则，在区间上递增，即，故选项B正确.对于选项C，当时，当时，恒成立，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，当时，，则，在区间上递增，，故选项D错误.故选：AB.6．（多选题）对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上恒成立，则【答案】ACD【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确.故选：ACD.二、填空题7．要设计一个容积为的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径_______时，造价最低．【答案】.【详解】设圆柱的高为，圆柱底面单位面积造价为，总造价为，因为储油罐容积为，所以，整理得：，所以，令，则，当得：，当得，所以当时，取最大值，即取得最大值.8．若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.【答案】【详解】因为且切线垂直于，所以，所以，所以.因为，令，所以，当，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值是，故答案为：.9．已知，，若存在实数，满足，则的最大值为______．【答案】【详解】解：，且在上单调递增，∴，．设，则，当时，；当时，．∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴．10．已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________.【答案】【详解】作出函数的图象，如图所示，由可得，所以，即，不妨设，则，令，则，所以，令，则，所以当时，；当时，，当时，取得最大值.故答案为：.三、解答题11．已知函数.（1）求函数在区间上的最大、最小值；.（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.【详解】（1）由有，当时，,在区间上为增函数，，，（2）设，则，当时，，且故时，，得证.12．已知函数其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值.【详解】（1）当时，函数，可得，则，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，函数，可得，令，则，所以函数在上单调递增，又由，则令，可得，所以函数在上单调递增，令，可得，所以函数在上单调递减.综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由，得在上恒成立，设，则，由，解得，（其中），随着变化，与的变化情况如下表所示：0↘极小值↗所以在上单调递减，在上单调递增.所以函数的最小值为.由题意得，即.设，则.因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.所以当，，即，时，有最大值为.A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是()A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-192.[探究点三]某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午6h到9h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294.A.6h B.7hC.8h D.9h3.[探究点一(角度1)]函数f(x)=12ex(sinx+cosx)在区间0,πA.12,12C.[1,eπ2] D.(1,4.[探究点四]当0<x<1时,f(x)=lnxx,则下列大小关系正确的是(A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x)C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x)5.[探究点一(角度2)]函数f(x)=(x+1)ex的最小值是.

6.[探究点二(角度2)·2023山东东营期末]若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)上有最大值,则实数a的取值范围是.

7.[探究点三]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式;(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?B级关键能力提升练8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元9.函数f(x)=6x-x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为()A.-46 B.-35 C.6 D.510.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13 B.-15 C.10 D.1511.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是()A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]12.已知f(x)=-x2+mx+1在区间(-2,-1)上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是.

13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是.

14.已知函数f(x)=alnx-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切(1)求a,b的值;(2)求f(x)在[1e,e]上的最大值15.[2023江苏淮安期末]已知函数f(x)=-13x3+x2+ax+2,a∈R(1)当a=3时,求函数f(x)的极值;(2)当0<a<43时,若函数f(x)在[0,4]上的最小值为23,求实数a16.已知函数f(x)=2lnx+ax,a∈R.若f(x)≤xex+1xC级学科素养创新练17.[2023重庆沙坪坝期末]定义:设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),若f'(x)在(a,b)上也存在导函数,则称函数y=f(x)在(a,b)上存在二阶导函数,简记为y=f″(x).若在区间(a,b)上f″(x)>0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”.已知f(x)=exx-m(x-lnx)在区间(0,+∞)上为“凹函数”,则实数m的取值范围为1.Cf'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1∉[-3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.2.C由题意,得y'=-38t2-32t+36=-38(t+12)(t-8).令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.当6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当t=8时,y有最大值3.Af'(x)=12ex(sinx+cosx)+12ex(cosx-sinx)=excosx,当0≤x≤π2时,f'(x)≥0,且只有在x=π2时,f'(x)=0,所以f(x)是[0,π2]上的增函数.即f(x)的最大值为f(π2)=12eπ2,f(x)的最小值为f(0)=12.故f(x)在4.D根据0<x<1得到0<x2<x<1,而f'(x)=1-lnxx2,所以根据对数函数的单调性可知,当0<x<1时,1-lnx>0,从而可得f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x2)<f(x)<0,而f2(x)=(lnxx)2>0,所以有f(x2)<f(x5.-1e2函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=-6.(-1,2]由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,由f'(x)<0,得-1<x<1,则f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以a2-6<-1,a>-1,f(7.解(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1340可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1340.即该企业的产量为15t时,可获得最大利润,最大利润为1340万元.8.D设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)=(8300-170p-p2)·(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,所以L'(p)=-3p2-300p+11700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23000.因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.9.B由f(x)=6x-x3+6得f'(x)=3x-3x2=3(1-x2x)x,由f'(x)=0可得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为10.A对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值为-13.11.D∵f(x)=-x3-3x2+1,∴f'(x)=-3x2-6x,令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.当x>0时,f(x)<f(0)=1,当x<-3时,f(x)>f(-3)=1.又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,∴a的取值范围为[-3,0].故选D.12.(-4,-2)f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=m2.由题意得m2∈(-2,-1),故m∈(-4,-13.[4,+∞)2xlnx≤-x2+ax-3成立,则a≥2lnx+x+3x成立.设h(x)=2lnx+3x+x(x>0),则h'(x)=(x+3)(x-1)x2.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.14.解(1)f'(x)=ax-2bx(x>0)由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切,得即a-2(2)由(1),得f(x)=lnx-12x2,定义域为(0,+∞)f'(x)=1x-x=1令f'(x)>0,得0<x<1,令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在[1e,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减所以f(x)在[1e,e]上的最大值为f(1)=-115.解(1)当a=3时,函数f(x)=-13x3+x2+3x+2,x∈R,f'(x)=-x2+2x+3=-(x+1)(x-当x<-1或x>3时,f'(x)<0,当-1<x<3时,f'(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递减,在(-1,3)上单调递增,因此当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=13,当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=11,所以f(x)的极小值为13,极大值为(2)函数f(x)=-13x3+x2+ax+2,其中0<a<43,求导得f'(x)=-x2+2x+a,因为0≤x≤4,由f'(x)=0得x=1+a+1,显然1+a+1<4,当0<x<1+a+1时,f'(x)>0,当1+a+1<x<4时,f'(x)<0,因此函数f(x)在[0,1+a+1)上单调递增,在(1+a+1,4]上单