5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1）A基础练（解析版）

5.3.2函数的极值与最大(小)值（1）-A基础练选择题1．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在x＝1时，f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值【答案】C【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；故选：C．2．若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，但有极值则在极值处一定等于.所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.故选：A3．当函数取极小值时，的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】即故选B．4．若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得．因为函数有小于零的极值点，所以有小于零的实根，即有小于零的实根，∵，∴，∴．故选：B5．（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为【答案】ABD【详解】解：由题图知可，当时，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，在上递增，对A，，故A错误；对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；对C，函数的极值点为，，故C正确；对D，函数的极大值为，故D错误.故选：ABD.6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．有且只有一个极值点B．设，则与的单调性相同C．有且只有两个零点D．在上单调递增【答案】ACD【详解】解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；因为，所以，所以所以，故的一个极值点为，所以与的单调性不相同，故B错误；因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故C正确；因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，D正确．故选：ACD．填空题7．若函数在处取得极值，则________.【答案】【详解】由题意，函数，可得，因为是函数的极值点，可得，所以，解得.8．已知函数，当时函数的极值为，则__________．【答案】【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.9．设函数，若是的极大值点，则a取值范围为_______________.【答案】【解析】的定义域为，由，得，所以.①若，由，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以是的极大值点；②若，由，得或.因为是的极大值点，所以，解得，综合①②：的取值范围是，故答案为.10．已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则极大值与极小值之差为__________．【答案】4【详解】求导得因为函数在取得极值，所以即，

又因为图象在处的切线与直线平行，

所以即，

联立①②可得，

当时，或；当时，

∴函数的单调增区间是和，函数的单调减区间是，

因此求出函数的极大值为，极小值为，

故函数的极大值与极小值的差为．解答题11．求下列函数的极值．（1）；（2）；（3）．【详解】（1）因为，所以，令，即，解得或，当变化时，、的变化情况如下表：300增函数极大值减函数极小值增函数故当时，函数有极大值，，当时，函数有极小值，．（2）因为，定义域为，所以，令，解得或，当变化时，、的变化情况如下表：00减函数极小值增函数极大值减函数故当时，函数有极小值，，当时，函数有极大值，．（3）因为，所以，函数的定义域为，令，解得或（舍去），当时，，当时，，故当时，函数有极小值，，无极大值.12．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴（1）求a的值；（2）求函数极值．【详解】（1）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得（2）由（1）知，令，解得（因不在定义域内，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数，故在处取得极小值A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]下列函数中存在极值的是()A.y=1x B.y=x-ex C.y=2 D.y=x2.[探究点三]设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)3.[探究点二(角度2)]若函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,则实数a的取值范围是()A.0,32 B.(C.32,+∞ D.(-4.[探究点二(角度1)]已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=23是y=f(x)的极值点,则a+b=.5.[探究点四·2023福建泉州期末]设函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导函数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象的顶点的横坐标为-12,且f'(1)=0,则ba的值为6.[探究点四]设函数f(x)=alnx+12x+32x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.B级关键能力提升练7.[2023浙江杭州模拟]已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),且函数g(x)=(log3x-1)·f'(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)有极小值f(6),极大值f(1)B.f(x)有极小值f(6),极大值f(10)C.f(x)有极小值f(1),极大值f(3)和f(10)D.f(x)有极小值f(1),极大值f(10)8.若函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)∪(2,+∞) B.(0,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞) D.{2}9.已知函数f(x)=x-ax-(a+1)lnx(a∈R)(1)当a=2时,求f(x)的极值;(2)若0<a≤1,讨论f(x)的极值.C级学科素养创新练10.[2023辽宁沈阳月考]关于函数f(x)=x3+ax2+bx+c有如下四个结论:①若x0是f(x)的极大值点,则f(x)在(x0,+∞)内单调递增;②∃x0∈R,f(x0)=0;③若函数y=f(x)存在极值点,则a2>3b;④函数y=f(x)的图象关于点(-a3,f(-a3其中所有正确结论的序号是.

1.B对于y=x-ex,y'=1-ex,令y'=0,得x=0.在区间(-∞,0)上,y'>0;在区间(0,+∞)上,y'<0.故当x=0时,函数y=x-ex取得极大值.易知A,C,D不存在极值.2.D由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.3.D∵f(x)=x3-2ax+a,∴f'(x)=3x2-2a.∵函数f(x)=x3-2ax+a在(0,1)内无极值,∴f'(x)=3x2-2a=0在(0,1)内无实数根.∴-2a≥0或3-2a≤0,∴a≤0或a≥32,故选D4.-2∵f'(x)=3x2+2ax+b,∴f'(1解得a=2,b=-4,∴5.-4由f(x)=2x3+ax2+bx+1,得f'(x)=6x2+2ax+b,则其对称轴为直线x=-a6,由题意得函数y=f'(x)的图象关于直线x=-12对称,所以-a6=-12,所以a=3,则f'(x)=6x2+6x+b,又由f'(1)=0,得b=-12,所以6.解(1)f'(x)=ax−12由题意知,曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,(2)由(1)知f(x)=-lnx+12x+3f'(x)=-1x令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-13(舍去)当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上是单调递减的;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上是单调递增的.故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值.7.D由题图知,当g(x)>0时,0<x<1或3<x<10且x≠6,当g(x)<0时,1<x<3或x>10,而当0<x<3时,log3x-1<0,当x>3时,log3x-1>0,因此当0<x<1或x>10时,f'(x)<0,当1<x<10时,f'(x)≥0,当x=3或x=6时取等号,则f(x)在(0,1),(10,+∞)上单调递减,在(1,10)上单调递增,所以f(x)有极小值f(1),极大值f(10),D正确.故选D.8.B因为f(x)=x2-(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+ax=2x2-(a+2)x+ax=(2x-a)(x-1)x(x>0),所以f'(9.解(1)因为当a=2时,f(x)=x-2x-3lnx所以f'(x)=x2-3x由f'(x)=0得x=1或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值-1单调递减极小值1-3ln2单调递增所以当x=1时,f(x)取极大值-1;当x=2时,f(x)取极小值1-3ln2.(2)f'(x)=x2+a①当a=1时,x∈(0,+∞),f'(x)≥0且不恒为0,f(x)单调递增,函数不存在极值.②当0<a<1时,x∈(a,1),f'(x)<0,x∈(0,a)或x∈(1,+∞),f'(x)>0,因此函数在x=a处取得极大值f(a)=a-1-(a+1)lna,函数在x=1处取得极小值f(1)=1-a.综上,当a=1时,f(x)不存在极值;当0<a<1时,极大值为f(a)=a-1-(a+1)lna,极小值为f(1)=1-a.10.②③④对于①,f'(x)=3x2+2ax+b(x∈R),所以f'(x)是二次函数且图象开口向上,又x0是f(x)的极大值点,所以f'(x)=0有两个根x0,x1且x0<x1,所以在(-∞,x0)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,在(x0,x1)内,f'(x)<0,f(x)单调递减,在(x1,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,故①错误;对于②,函数f(x)的值域为R,所以f(x)的图象与x轴有交点,所以存在x0∈R,使得f(x0)=0,故②正确;对于③,若函数y=f(x)存在极值点,则f'(x)=