2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时

.3二次函数与一元二次方程、不等式一、选择题1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A. B.C． D.2．下列不等式中，解集是R的是()A．x2＋4x＋4>0 B.C. D．－x2＋2x－1>03．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（）A．a=6，c=1B．a=－6，c=－1C．a=1，c=1D．a=－1，c=－64．若0＜t＜1，则不等式的解集为()A. B.C. D.5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（）A．B．C．D．6.关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪二、填空题7．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.9.函数的定义域是R，则实数a的取值范围为________．10.若关于的不等式的解集为，则实数m等于.三、解答题11.解下列不等式(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－x2＋8x－3＞0；12.不等式mx2+1＞mx的解集为实数集R，求实数m的取值范围．13.解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．14．已知，(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.15.解下列关于x的不等式；答案与解析1．【答案】D【解析】9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0∴，故选D.2．【答案】C【解析】∵x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，∴A不正确；∵，∴B不正确；∵，∴(x∈R)，故C正确；∵－x2＋2x－1>0∴x2－2x＋1＝(x－1)2<0，∴D不正确．3.【答案】B【解析】由题意可知方程的两根为和，由韦达定理得：，求得a=－6，c=－14．【答案】D【解析】∵0＜t＜1，∴，∴∴.5.【答案】C【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，，求得，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为6.【答案】C【解析】原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．当m≠0时，由题意，得.综上，m的取值范围为(－∞，0]．7．【答案】[0,4)【解析】由题意知，∴0＜a＜4.当a＝0时，A＝{x|1＜0}＝∅，符合题意．8．【答案】【解析】由题意得：，解得9.【答案】【解析】由已知f(x)的定义域是R.所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；(2)当a≠0时，则有.由(1)(2)知，.即所求a的取值范围是.10.【答案】2【解析】由题意，得1，m是关于x的方程的两根，则解得（舍去）11．【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根，.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为．12.【解析】当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有，解得0＜m＜4．综上，m的取值范围是{m|0≤m<4}.13.【解析】当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，所以原不等式的解集为R.当m≠0时，m2＞0，由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，即，若m＞0，则，所以原不等式的解集为；若m＜0，则，所以原不等式的解集为.综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；当m＞0时，原不等式的解集为；当m＜0时，原不等式的解集为.14．【解析】(1)由题意得：△=，即0<a<4；(2)由x∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：或综上所述：.15.【解析】当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1；当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根和.(Ⅰ)当，即，时，函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等式的解集为；(Ⅱ)当，即时，函数的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：故不等式的解集为空集；(Ⅲ)当，即，或，①若，函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等式的解集为；②若a>0，数的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等的解集为；综上所述，当a<-1时，不等式的解集为；当a=-1时，不等式的解集为空集；当-1<a<0时，不等式的解集为；当a=0时，不等式的解集为；当a>0时，不等式的解集为.A级必备知识基础练1.[探究点一(角度2)]不等式x+61-x≥0A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1,或x≤-6}C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1,或x≤-6}2.[探究点一(角度1)]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x∈N*|x≤5},则A∩B等于()A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}3.[探究点一(角度1)]不等式x2-2x-5>2x的解集是()A.{x|x≥5,或x≤-1}B.{x|x>5,或x<-1}C.{x|-1<x<5}D.{x|-1≤x≤5}4.[探究点二]若不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},则()A.a=1,b=-5 B.a=-1,b=5C.a=-1,b=-5 D.a=1,b=55.[探究点一(角度2)]不等式xx-1≥2的解集是A.{x|x<1} B.{x|x≥2}C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2}6.[探究点二·2024江苏连云港高一期中](多选题)设a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},则下列说法正确的是()A.a<0B.ab<0C.ac>0D.a∶b∶c=1∶(-4)∶37.[探究点二](多选题)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是()A.a+b=0 B.a+b+c>0C.c>0 D.b<08.[探究点二]二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y60-4-6-6-406则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是.

9.[探究点三]某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.

10.[探究点一(角度1)]求下列不等式的解集:(1)2x2-13x+20>0;(2)7x2+5x+1<0;(3)4x2-4x+1≤0.B级关键能力提升练11.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为()A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2}12.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是()A.0<a<1 B.0<a<1C.0≤a≤1 D.a<0或a>113.已知a>0,b>0,则不等式-b<1x<a等价于(A.x<-1a或x>B.x<-1b或x>C.-1a<x<0或0<x<D.-1b<x<0或0<x<14.[2024河北唐山高一期中](多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x13<x<1A.a>0B.c<0C.a+b>0D.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3<x<-1}15.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.16.已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B=.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,给出如下三个条件:①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|a≤x≤a+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在,求出a的取值范围.

C级学科素养创新练17.在R上定义运算:abcd=ad-bc.若不等式x-1a-218.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.(1)若5∈A,求实数k的取值范围.(2)求不等式的解集A.(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.答案：1.C不等式x+61-x≥0等价于(x+6)(1-x)≥0,1-2.B∵(2x+1)(x-3)<0,∴-12<x<3又x∈N*且x≤5,则x=1,2.即A∩B={1,2}.3.B由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因为方程x2-4x-5=0的两根为-1,5,所以不等式x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1,或x>5}.4.D因为不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以-3和-2为方程ax2+bx+6=0的两根,即9a-3b+6=0,4a-2b+6=0,解得a=1,b=5,故选D.5.D不等式xx-1≥2可化为xx-1-2≥0,即2-xx所以不等式的解集为{x|1<x≤2}.故选D.6.BCD∵a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},∴a>0,1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,∴1+3=-ba,1×3=ca,∴b=-4a<0,c=3a>0,∴ab<0,ac>0,a∶b∶c=17.ABC由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,所以-ba=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由ca=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确.故选8.{x|x<-2,或x>3}根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.9.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).因为0<x<240,所以150≤x<240,即生产者不亏本时的最低产量是150台.10.解(1)原不等式对应的方程为2x2-13x+20=0,Δ=(-13)2-4×2×20=9>0,所以该方程的两根为x1=13+34=4,x2=13画出函数y=2x2-13x+20的大致图象,如图,函数图象与x轴的交点为(4,0),(52,0).所以不等式2x2-13x+20>0的解集为x(2)原不等式对应的方程为7x2+5x+1=0,Δ=52-4×7×1=-3<0,所以方程无解.画出函数y=7x2+5x+1的大致图象,如图,图象与x轴无交点.所以不等式7x2+5x+1<0的解集为⌀.(3)4x2-4x+1≤0可化为(2x-1)2≤0,所以2x-1=0,所以x=12.画出函数y=4x2-4x+1的大致图象,如图,函数图象与x轴只有一个交点(12,0所以不等式4x2-4x+1≤0的解集为xx11.B根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故x的取值范围是{x|-2<x<1}.12.C因为不等式x2-2ax+a>0的解集为R,所以Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)<0,解得0<a<1.选择的必要不充分条件的范围,应该大于0<a<1包含的范围,显然只有C项满足.故选C.13.B因为-b<1x<a,所以1x>-b,1x<a,解1x>-b,即1x+b=1+bxx>0,即(1+bx)x>0,因为b>0,所以得x<-1b或x>0;解1x<a,即1x综上,x<-1b或x>1故选B.14.BC因为不等式ax2+bx+c>0的解集为x13<x<1,所以13和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系可得-ba=13+1,ca=13×1,解得a=3c,b=-4c(a<0),故A错误,B正确;a+b=-c>0,故C正确;不等式cx2+bx+a>0变为cx2-4cx+3c>0⇒15.解(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得1+b=(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为⌀