1.5.1全称量词与存在量词 第2课时

.5.1全称量词与存在量词1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>32．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成()A．若x∈R，则x2＋1>0 B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>24．给出下列三个命题：①对任意的x∈R，x2>0；②存在x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．35．下列说法正确的是()A．对所有的正实数t，有eq\r(t)<tB．存在实数x，使x2－3x－4＝0C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>46．下列存在量词命题中真命题有________．①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)①有的实数是整数； ②三角形是多边形；③矩形的对角线互相垂直； ④∀x∈R，x2＋2>0；⑤有些素数是奇数．9．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：(1)∃x，x－2≤0.(2)三角形两边之和大于第三边．(3)有些整数是偶数．11．下列全称量词命题中真命题的个数为()①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1B．2C．3D．012．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是()A．a>－1B．a<－1C．a≥－1D．a≤－113．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤516．已知函数y1＝xeq\o\al(2,1)，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．【答案与解析】1．答案C2．答案C解析存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C.3．答案B4．答案C解析对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．5．答案B解析t＝eq\f(1,4)时，eq\r(t)>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．6．答案①②③7．答案∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．8．答案②③④9．解(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为eq\r(2)，eq\r(2)就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．10．解(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．11．答案B12．答案B解析依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.13．答案{a|a<1}解析当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.14．解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，－1≤a≤1.15．答案C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.16．解因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，所以m≥－4.A级必备知识基础练1.[探究点三]命题“∀x∈R,2x2+3x-5>0”的否定是()A.∀x∈R,2x2+3x-5<0B.∀x∈R,2x2+3x-5≤0C.∃x∈R,2x2+3x-5≤0D.∃x∈R,2x2+3x-5<02.[探究点一]下列命题中是存在量词命题的是()A.平行四边形的对边相等B.同位角相等C.任意实数都存在相反数D.存在实数没有倒数3.[探究点二·2024山西运城高二月考]下列命题中为真命题的是()A.∃x∈N,使4x<-3B.∀x∈R,x2+2>0C.∀x∈N,2x>x2D.∃x∈Z,使3x-2=04.[探究点三]命题“∃m∈N,m2+1∈N”的否定是(A.∃m∉N,m2+1B.∃m∈N,m2+1C.∀m∉N,m2+1D.∀m∈N,m2+15.[探究点三]已知命题p的否定为“∃x∈R,x2+1≤1”,则下列说法中正确的是()A.命题p为“∃x∈R,x2+1≥1”且为真命题B.命题p为“∀x∉R,x2+1>1”且为假命题C.命题p为“∀x∈R,x2+1>1”且为假命题D.命题p为“∃x∈R,x2+1≥1”且为假命题6.[探究点四]命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x≥a”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥1 B.a<1C.a≥4 D.a≤47.[探究点二、三]写出下列命题的否定,并判断真假:(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(3)某些梯形的对角线互相平分;(4)被8整除的数能被4整除.B级关键能力提升练8.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则p的否定是()A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根9.[2024河北模拟预测]命题p:∀x>1,x+2x-3>0,命题q:∃x∈R,2x2-4x+3=0,则()A.p真q真 B.p假q假C.p假q真 D.p真q假10.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有()A.∃x∈R,x2-x+14<B.所有的正方形都是矩形C.∃x∈R,x2+2x+2≤0D.至少有一个实数x,使x3+1=011.(多选题)下列命题为存在量词命题的有()A.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点PB.有的有理数能写成分数形式C.线段的长度都能用正有理数表示D.存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立12.若命题p:∃x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是;命题p的否定是.

13.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组小明同学给组内小亮同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求实数m的范围.小亮略加思索,给了小明一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求实数m的范围.你认为,两位同学出的题中m的范围是否一致?(填“是”或“否”).

14.命题“∃x∈R,使mx2-(m+3)x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.C级学科素养创新练15.(多选题)下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有()A.有一个x∈R,使得x2>3成立B.对有些x∈R,使得x2>3成立C.任选一个x∈R,都有x2>3成立D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立16.命题p是“对任意实数x,有x-a>0,或x-b≤0”,其中a,b是常数.(1)写出命题p的否定;(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?答案：1.C由全称量词命题的否定知原命题的否定为∃x∈R,2x2+3x-5≤0.故选C.2.D根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知,A选项,“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质,是全称量词命题;B选项,“同位角相等”是所有的同位角都相等,是全称量词命题;C选项,“任意实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词,故其为全称量词命题;D选项,“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词,其为存在量词命题.故选D.3.B对于A,由4x<-3,得x<-34,所以不存在自然数使4x<-3成立,所以A错误;对于B,因为∀x∈R,x2≥0,所以x2+2≥2>0,所以B正确;对于C,当x=2时,2x=x2=4,所以C错误;对于D,由3x-2=0,得x=23∉Z,所以D错误.故选4.D原命题为存在量词命题,故其否定为∀m∈N,m2+1∉N.故选5.C∵命题p的否定为存在量词命题,∴命题p:∀x∈R,x2+1>1,当x=0时,x2+1=1,∴p为假命题.故选C.6.B命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x≥a”为真命题,则a≤1,只有{a|a<1}是{a|a≤1}的真子集,故选项B符合题意.7.解(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0都有实数根”,其否定是“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,一元二次方程没有实根,因此该命题的否定是真命题(2)命题的否定:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.(3)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.8.C命题p是存在量词命题,其否定为全称量词命题,即对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根.9.D对于命题p:因为x>1,所以x>1,所以x+2x-3=2(x+14)2-258>2(1+14)2-258=0,即命题p为真命题;对于命题q:因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程2x2-4x+3=0无解,即命题10.AC命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B.再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题.又D为真命题,故选AC.11.BD12.{a|a>4}∀x∈R,x2-4x+a≠0若命题p为假命题,则命题p的否定:∀x∈R,x2-4x+a≠0为真命题,则Δ=(-4)2-4a<0,解得a