2025-2026学年重庆第八中学高二下学期4月月考数学试题含答案

高中数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是A．平均数B．中位数C．众数D．方差2．若函数f(x)=kx+lnx在区间上单调递增，则k的取值范围为3．已知数列{an}满足ana1=5，则a2026=414．函数f的大致图象为5．如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则6．某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为sEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),1)、sEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),2)，该班成绩的方差为s2，则下列结论中一定正确的是重庆八中高2027级高二（下）阶段性检测（一）高中7．已知函数f(x)的定义域为(_∞,0)，其导函数f,(x)满足xf,(x)_2f(x)>0，且f(_1)=_1，则不等式f(x+1)+(x+1)28．对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：f,(x)是y=f(x)的导函数，f,,(x)是f,(x)的导函数，若方程f,,(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数gx2+3x则 A．2022B．2023C．2024D．2025二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。A．B≤AB．A、B不是互斥事件AA10．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n(n∈N*)，则=6B．数列是公差为1的等差数列C．数列的前n项和为D．数列{(_1)nan}的前2023项和为_202411．已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是A．函数y=f(x)__eg(x)的极值点为1(0,+∞)，f(x)_g(x)=2C．若P,Q分别是曲线y=f(x)和y=g(x)上的动点，则PQ的最小值为·2D．若f(ax)_g(x)≥(1_a)x对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则a的最小值为e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数f(x)=xlnx的极小值点是．13．高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.如果在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为cm.（结果保留一位小数14．对▽x>0，都有f(x)=axex+1_lnx_x≥0，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）如图，正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2.（2）求平面ABCD与平面ACD1所成角的正弦值；（3）求点B1到平面ACD1的距离.1615分）近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛N火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近50场比赛的得分进行了统计，（1）求频率分布直方图中m的值；（2）估计这50场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表（3）现从比赛得分在[55,75]的比赛中按分层抽样抽取5场比赛，再从这5场比赛中随机抽取2场，求这两场都不低于65分的概率.1715分）已知函数fax2_la∈R．（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为1，求a的值．1817分）已知抛物线C：y2=2px（p>0过点Q(2,0)的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，当l与x轴垂直时，AB=4·2.（1）求抛物线C的解析式；（2）若cosLAOB过x轴上一点P作直线OA，OB，AB的垂线，垂足分别为E，F，G，且满足E，F，G三点共线.（i）求直线l的方程；（ii）求P点的坐标.1917分）已知函数f(x)=(x_a)lnx_x，（1）当a=0时，（i）求f(x)的最小值；（2）设x1，x2是f(x)的两个极值点，求证：x1+x2>2．e

一、单选题1．A【详解】对于A：原数据平均数为添加数据3后平均数为故A正确；对于B：原数据中位数为，添加数据3后中位数为3，故B错误；对于C：原数据众数为1，添加数据3后众数为1和3，故C错误；对于D：原数据方差为(1_3)2+(1_3)2+(3_3)2+(7_3)2=6，添加数据3后方差为故D错误.2．B【详解】f'=k因为函数f(x)=kx_lnx在区间上单调递增，所以f'=k上恒成立，即k上恒成立.因为y上单调递减，所以当x时，y<2，所以k≥2，则k的取值范围为[2,+∞).3．B【详解】依题意得a．4．D【详解】解：由题意知，函数f(x)的定义域为{x∣x≠±1}，因为ff(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；f，排除B；f，排除C.5．D【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 6．D【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为x1，x2，两个班的总的平均分为x，则s7．B【详解】根据题意可g→g所以g在(_∞,0)上单调递减，则原不等式等价于又g，所以函数g(x)关于点对称，二、多选题9．BC【详解】若B≤A，则P(AB)=P(B)，与题干矛盾，故A错误；因为P(AB)>0，所以随机事件A，B可以同时发生，即A、B不是互斥事件，故B正确；因为P(A)>P(B)，所以1_P(A)<1_P(B)，即P(A)<P(B)，故C正确D错误；10．ACD【详解】数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当n≥2时，对于B，则数列是公差为的等差数列，B错误；则数列{(_1)nan}的前2023项和为2×1011_a2023=2022_2×2023=_2024，D正确.11．ACD【详解】对于A，y=f(x)__eg(x)=ex_elnx．所以y,=ex递增，所以y=f(x)一eg(x)的极值点为1，故A正确；因函数y=ex与y在(0,+∞)上均单调递增，故h,(x)在(0,+∞)上单调递增．EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(1),e)所以h(x)在(0,x0)上单调递减．在(x0,+∞)上单调递增.对于C，因为函数f(x)=ex与函数g(x)=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，设点P到y=x的最小距离为d，设函数f(x)=ex上斜率为1的切线为y=x+b，f,(x)=ex，由ex=1得x=0，所以切点坐标为(0,1)，即b=1，所以d所以PQ的最小值为2d=2，故C正确；lnx当0<x<e时，u,(x)>0，则函数u(x)在(0,e)上单调递增，当x>e时，u,(x)<0，则函数u(x)在三、填空题当0<x<1时，f,(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f,(x)>0，f(x)单调递增，所以x是f(x)的极小值点13．165.4【详解】高二年级男生与女生人数比为490:510=49:51，当样本容量为100时，抽取男生人数为x100=49（人抽取女生人数为x100=51（人高二年级全体学生的平均身高估计为x160.8=165.406≈165.414．【详解】由原式f(x)=axex+1_lnx_x≥0恒成立，等价于a恒成立，令g则a的最小值为g(x)的最大值.则g,令g,(x)=0，得方程lnx+x=2，解得x=x0（x0为唯一解即lnx0+x0=2，因此，x=x0是g(x)的极大值点，即最大值点，所以g(x)的最大值g由lnx0=2_x0，即x0=e2_x，所以g所以a≥g四、解答题15．(1)证明见解析【详解】（1）证明：由正方体的性质可知AC//A1C1，因为正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，所以D1O丄AC,且D1O所以LD1OD为平面ABCD与平面ACD1所成角的平面角，因为DD1丄底面ABCD，所以DD1丄DB，所以sinLD1OD即平面ABCD与平面ACD1所成角的正弦值为分（3）以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设平面ACD1的一个法向量为=(x,y,z)，则则d即点B1到平面ACD1的距离为分（2）由已知可估计平均数为即分别在两区间内的场数之比为2:3，根据分层抽样可知，抽取的5场比赛中得分在[55,65)内的有2场，设为a，b，得分在[65,75]内的有3场，设为c，d，e，(d,e)，共有10种情况；其中满足两场都不低于65分的情况有(c,d)，(c,e)，(d,e)，共3种情况，则所求概率为3.17．(1)x+y-1=0；(2)答案见解析；(3)a=2x函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-(x-1)，x+y-1=0．3分（2）因为fax2-lnx，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f,=ax当a≤0时，f,(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当x时，f,(x)<0，函数f上单调递减，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数f上单调递减，在a,+∞)上单调递增.………8分（3）当a≤0时，f,(x)<0，函数f(x)在[1,e]上单调递减，所以fmin=fae2_1=1，所以a不合题意舍去；当a>0时，若a≤1即a≥1，函数f(x)在[1,e]上单调递增，所以fmin=fa_0=1，所以a=2，符合题意；若≥e即0<a≤,函数f(x)在[1,e]上单调递减，所以fmin=fae2_1=1，所以a不符合题意；若1<<e即<a<1，函数f(x)在上单调递减，在a,e]上单调递增，所以fmin=fln不符合题意；综上，函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为1，则a=215分【详解】（1）当l与x轴垂直时，yA=yB=2，4p（2）(ⅰ)由l与抛物线交于A，B两点知直线斜率不为04pxx1x代入知：cosLAOB解得：m=±1，即l(ⅱ)由对称性，不妨取l：x=y+2，由于A故OA：y=x，因为PE丄OA，设P(a,0)，所以PE：y联立解得：E，同理有：F所以kEF由（2）得：y1+y2=4，y1y2=_8，代入可知：kEF故EF：y由于yEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)_4y1_8=0，故4y1=yEQ\*jc3\*hps11\o