2024-2025学年重庆市名校联盟高二下学期第一次联考数学试题含答案

高中高中重庆市名校联盟2024-2025学年高二下学期第一次联合考试数学试卷一、单选题1．口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（

）A．20 B．26 C．32 D．362．函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．3．在二项式的展开式中，常数项为（

）A．180 B．270 C．360 D．5404．若，则（

）A． B．6 C．3 D．-35．五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（

）A．60 B．80 C．100 D．1206．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（

）A．函数的增区间是B．函数的减区间是C．是函数的极大值点D．是函数的极大值点7．已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（

）A．B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32C．展开式中的常数项为540D．展开式中二项式系数最大的项是第四项10．有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各本，有90种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；C．分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；11．已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（

）A．当时，在处的切线方程为B．若有3个零点，则的取值范围为C．当时，是的极大值点D．当时，有唯一零点，且三、填空题12．某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为.13．已知函数，则=．14．已知函数当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围.四、解答题15．由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.16．已知函数在时取得极小值．(1)求实数，的值；(2)求在区间上的最值．17．已知．(1)求的值；(2)求的值（结果用数字表示）．18．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数零点的个数；(3)当时，证明：当时，.19．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.①求t的取值范围；②证明：参考答案题号12345678910答案BBACBCDCABDABD题号11答案ABD1．B由间接法以及组合数即可求解.【详解】从个球中任取个球的取法共有种，两个球都不是红球的取法有种，所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为.故选：B.2．B求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间.【详解】∵，∴，令，解得，即函数的单调递减区间为，故选：B.3．A根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为.故选：A4．C由导数的定义可得；【详解】.故选：C.5．B先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.故选：B6．C根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据的图象可知：当时，；时，，当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.因此函数在时取得极小值，在取得极大值.故ABD错误，C正确.故选：C7．D先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数在上单调，只要函数在上单调，对函数求导，代特殊值求得，结合函数在上单调，可知在上恒成立，即可知，确定值并检验即可求解.【详解】因为，且，所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调；又，且，又函数在上单调，故函数在上只能单调递减，由，即，解得，当时，，时，，，故有在上恒成立，经检验知，时符合题意．故选：D8．C【详解】令，，时，，则在上递减，时，，则在上递增，由可得，化为∴，则，同理，；，，因为，所以，可得，因为在上递减，，∴，故选：C．9．ABD【详解】令，得，得，故A正确；展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确，由上得二项式为，常数项为，故C错误；最大的二项式系数为，即第四项的二项式系数最大，故D正确；故选：ABD．10．ABD【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故A正确；对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有种，故B正确；对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故C错误；对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有种，故D正确.故选：.11．ABD【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确：对于B中，若函数有3个零点，即有三个解，其中时，显然不是方程的根，当时，转化为与的图像有3个交点，又由，令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；所以当时，函数取得极小值，极小值为，又由时，，当时，且，如下图：所以，即实数的取值范围为，所以B正确：对于中，当时，，可得，令，在上单调递增，且,所以存在使得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，又,所以在上，即，单调递减，在上，即，单调递增，所以是的极小值点，所以错误．对于D中，当时，，设，可得，当时，在单调递减；当时，在单调递增，所以当时，，所以，所以，所以函数在上单调递增，又因为，即，所以有唯一零点且，所以D正确；故选：ABD.12．720【详解】解：由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，不同的安排方式有种，第二部对个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有种，故总的不同安排方式有种，故答案为720.13．求出函数的导数，赋值求出，再赋值即可得解.【详解】,令，可得，解得，所以，即，所以，所以.故答案为：14．【详解】不妨设.因为，所以，所以在上单调递增，即.又因为在上也单调递增，所以.所以不等式即为，即，设，即，则，因此在上单调递减.于是在上恒成立，即在上恒成立.令，则，即在上单调递增，因此在上的最小值为，所以，故实数的取值范围是.故答案为：15．（1）72个；（2）72个；（3）1200个.（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可.（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即可.【详解】解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.个.（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个16．(1)，(2)最小值为，最大值为（1）求出函数的导函数，依题意，解得、的值，再代入检验；（2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得解.【详解】（1）因为，所以，依题意，即，解得或，若，则，则无极值点，不满足题意，

经检验符合题意，所以，.（2）由（1）知，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，上单调递增，则在处取得极小值，又，，，所以在上的最小值为，最大值为.17．(1)(2)（1）根据题目条件，令，化简可得的值，再令，化简可得结果；（2）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值.【详解】（1）在中，令，得，所以.在中，令，得，所以.（2）∵的展开式的通项公式为，∴.18．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析（1）根据题意，由导数的几何意义，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，令，可得，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得，令，求导可得在上单调递减，从而可得在上单调递减，即可证明.【详解】（1）当时，，则，所以，，由直线的点斜式可得，化简可得，所以切线方程为.（2）因为函数，令，可得，设，则，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在上单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，，且时，，所以当时，函数与函数无交点；当时，函数与函数有且仅有一个交点；当时，函数与函数有两个交点；当时，函数与函数有且仅有一个交点；综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.（3）当时，，令，则，令，则，因为，所以，，则当时，恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即.19．(1)是上的"双中值函数"，理由见详解(2)①；②证明见详解.【详解】（1）函数是上的"双中值函数