湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2026年5月高三模拟测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2026年5月高三模拟测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=1,3,a2,B=3,a+2，且B⊆AA.−1 B.0 C.1 D.22.已知实数a，b，c，则“ac2≥bc2”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知复数z=cosπ4+isinA.1 B.i C.−1 D.−i4.若fx=xx−1x+ax∈R为奇函数，则A.−1 B.0 C.1 D.−1或15.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是(

)A.极差 B.45百分位数 C.平均数 D.众数6.若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是(

)A.(−1,1) B.(0,1) C.(−12,7.已知函数fx=sinωx+π4ω>0，若∃x0∈−πA.34 B.1 C.32 8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,E为AD的中点，P为正方形A1B1A.217−6 B.217−4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.若随机变量X∼B6,13，则D3X+2=12

B.若X∼Nμ,σ2，且PX≤−2+PX≤4=1，则μ=2

C.已知事件A,B10.已知函数fx=x3+bx2+cx+d在(−∞,0]上是增函数，在0,2上是减函数，且方程fx=0A.c=0 B.b≤−3 C.f1≥3 11.已知A,B分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点，Px0,yA.PAPB的值随着x0的增大而减小 B.tanα−tanβ≤2ba

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为

．13.已知椭圆C:x24+y2=1的上顶点为A，直线l交椭圆C于M，N两点.若△AMN的重心坐标为(1,0)14.已知数列{an}的通项公式为an=n3n−1，设集合An={a1,a2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)▵ABC中，D为边BC上一点，且CD=2BD，AD=2，AB=2(1)若B=30∘，求(2)若sin∠BADsin∠CAD=16.(本小题15分)如图，在▵ABC中，AB⊥BC,AB=BC=6.平面ABC外的动点D在以AB为直径的半圆上，且满足平面BCD⊥平面ACD．(1)证明：CB⊥平面ABD；(2)若线段AC上的点E满足CE=2EA，当三棱锥C−ABD的体积取得最大值时，求平面BED与平面AEB17.(本小题15分)已知函数fx=1−a(1)当a=2时，求fx(2)若fx≥2恒成立，求(3)试比较2.5与e0.95的大小并说明理由．(e为自然对数的底数，18.(本小题17分)已知抛物线Γ：x2=2pyp>0在点(1)求p的值；(2)若抛物线Γ上存在B，C两点，使得AB⊥BC，求点C的横坐标的取值范围；(3)将抛物线Γ向下平移一个单位长度得到抛物线Γ′,M,N是抛物线Γ′与x轴的交点，过点0,2p作直线l与抛物线Γ′交于D,E两点，与x轴交于点T，其中点M,D,T均在y轴左侧，直线ME与ND交于点S.问在平面内是否存在一定点Q，使得QS⋅QT为定值？若存在，求出点Q19.(本小题17分)某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定n名平台用户作为研究样本.每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数a(0<a<1).内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下： ①第一天(冷启动推荐阶段):AI系统从n名用户中随机选取m名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播(称为激活用户)的概率均为p，且各用户是否被激活相互独立． ②第二天及以后(社交扩散推荐阶段):每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户(即n名用户中还未被激活的)进行二次流量触达.任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．已知：若某一天有k个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：1−(1−a(1)求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望;(2)求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率;(3)若取n=5，m=2，p=0.4，求两天后用户甲是激活用户的概率(用含a的代数式表示);并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象．

参考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.B

6.A

7.B

8.A

9.ACD

10.ABD

11.ACD

12.6

13.3414.[9,+∞)

15.解：(1)在▵ABD中，设BD=m，则CD=2BD=2m，由余弦定理得cosB=AB整理得m−2m−4=0，解得m=2或当m=2时，CD=2BD=4，符合题意，当m=4时，CD=2BD=8，符合题意，所以CD的长为4或8．(2)由CD=2BD，得S△BADS△CAD因为sin∠BADsin∠CAD=12，AB=2由余弦定理得AC2=A即232因为∠ADC+∠ADB=π，所以cos∠ADC=−所以由①②可得x2=4，解得x=2，所以

16.解：(1)过点B作BH⊥CD于H，由平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，BH⊂平面BCD，则BH⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，故BH⊥AD，又AB为直径，故BD⊥AD，且BD∩BH=B，BD、BH⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，故BC⊥AD，又AB⊥BC，AD∩AB=A，AD、AB⊂平面ABD，故CB⊥平面ABD；(2)由(1)知，VC−ABD当且仅当BD=AD=32时，过点D作DO⊥AB于O，建立以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O点垂直于平面ABD的方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B0,−3,0所以BD=设平面BED的法向量为n1则BD⋅n1=3x+3y=0BE所以n1因为平面AEB的法向量为n2则cosn即平面BED与平面AEB夹角的余弦值为6

17.解：(1)当a=2时，fx则f′x令f′x=x−2x+1x又fx定义域为0,+∞，故函数f(x)的单调递增区间是2,+∞(2)f′x=1−a当0<x<a时，f′x<0，当x>a时，故函数fx在0,a上单调递减，在a,+∞fx由fx≥2恒成立，得则1−alna+a−1≥0，即a−1ln所以a的取值范围是1,e；(3)2.5<e由(2)知，当a=e时，fx=1−e令x=2.5，有ln2.5≤又12.5即ln2.5<0.95，故2.5<

18.解：(1)∵x2=2py，∴y=x22p，切线斜率k=y′x=1=1p，∴设x=0，则有y=−12p，∴此切线与y轴的交点为设y=0，则有x=12，∴此切线与x轴的交点为∴此切线与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×(2)∵p=12，∴x设Bt,t2,Cs,kAB∵AB⊥BC，∴k将t+1s+t=−1整理为关于t的方程为∵抛物线Γ上存在B，C两点，使得AB⊥BC，∴关于t的方程t2▵=s+12−4解得s≤−1或s≥3，故点C的横坐标的取值范围为−∞,−1∪(3)抛物线Γ向下平移一个单位长度得到抛物线Γ′，则Γ′的方程为x2=y−1，即当y=0时，x=±1，又M在y轴左侧，则M−1,0过点0,2p的直线l，就是过点0,1作直线l，因为直线l与抛物线Γ′交于D,E两点，则直线l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与x轴交于点T，且点T在y轴左侧，所以k>0，当y=0时，kx+1=0，解得x=−1k，则联立直线l与抛物线Γ′，即y=kx+1y=x2得到关于x的一元二次方程x2−1=kx+1，即设Dx1,x12−1则有x∵M−1,0，Ex2∴直线ME的方程为y=x∵N1,0，Dx1∴直线ND的方程为y=x联立直线ME和直线ND，即y=消去y，得到x2−1x+1∵x1x2=−2将x=x12−2x则Sx假设存在定点Qa,b，又TQS=x1∵x1+x2∴QTQS==a要使QS⋅QT为定值，则①中的x12的系数此时QS⋅要使QS⋅b2由b2+2b1=2b2此时QS⋅故在平面内存在一定点Q，使得QS⋅QT为定值，此时点Q的坐标为

19.解：(1)设X表示第一天结束时被成功激活的用户人数，易知X∼B(m,p)，

则E(X)=mp;

(2)考虑二项展开：(1−p+p)m=k=0mCmk(1−p)m−kpk=1 ①，

(1−p−p)m=(1−2p)m=k=0mCmk(1−p)m−k(−p)k=k=0mCmk(−1)k