2024-2025学年四川绵阳南山中学高二下学期期中数学试题含答案

高中绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试试题数学完成时间：120分钟满分：150分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知数列的首项为1，，则（

）A．1 B．2 C．4 D．82．已知函数，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-13．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（

）个A． B． C． D．4．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数在处取得极小值B．函数在处取得极大值C．函数在上单调递增D．函数的递减区间为5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（

）A．140种 B．120种 C．35种 D．34种6．在等比数列中，，是函数的极值点，则（

）A．3 B． C． D．97．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同,则不同的书写方法数为（

）A．120 B．160C．180 D．2408．设数列的前项之积为，满足，则（）A． B． C． D．二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．到了毕业季，我校科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（

）A．所有不同的排法种数为120种B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种10．设数列是以为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．使>0成立的的最大值为14 D．为的唯一最大值11．已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（

）A．B．C．D．三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在的展开式中，常数项是.13.我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有种不同的分配方案.14．已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是.四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（13分）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，求函数的最大值与最小值.16.（15分）已知等差数列和正项等比数列满足：,,(1)求数列，的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求.17.（15分）已知函数.(1)设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围；(2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围．18.（17分）已知数列，若，且．(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，且数列的前项和为，求；(3)若，且数列的前项和为，求证：.（17分）已知函数讨论的单调性；若在上恒成立，求的取值范围；讨论在上的零点个数.

绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试数学试题答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A2．D3.D4．B5．D6．【详解】由题得，因为，是函数的极值点，则，是方程的两根，所以从而可得，又因为等比数列，可得，且，所以.故选：B.7．C8．【详解】当时，，所以，当时，，可得，即，即，即，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以，所以，所以.故选：.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．【答案】ABD10．【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；对于C，因为，，故C正确；对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D不正确．故选：ABC．11．【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确；对于B，由A可得，故，又由题设得，故，即，故B正确；对于C，D由已知和A得，令得，即，所以C，D错误；故选：AB.填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1513.15014【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为由S2=由a2n=将d=2因此，公差d=2在2an与2an+1之间插入d数列{dn}的单调性：设f故{dn}单调递增，最小值为d1=3⋅212对任意，存在，使得dp≥λak.由于dp≥3且故答案为：.四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.【详解】（1）由题，则切线的斜率为，（2分）故曲线在点处的切线方程为，即为；（4分）（2）∵，令，解得：或，令，解得：，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增；（6分）∴，，（8分）又，，，，（12分）所以在上的最大值为，最小值为.（13分）16.【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为；由，，可得，（2分）解得或（舍），则；（4分）所以，；（6分）可得数列的通项公式为，的通项公式为；（8分）（2）易知，则，；（11分）两式相减可得；（14分）所以数列的前项和为.（15分）【详解】(1)由函数f(x)＝12x2＋(a－2)x－2alnx，x，可得，（2分）函数在上存在减区间在上有解.（4分）在上成立，解得.（7分）(2)由函数f(x)＝12x2＋(a－2)x－2alnx因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有，不妨设，则等价于.（9分）设，等价于在(0，＋∞)上是增函数，（10分）可得，依题意，对任意x>0有x2－2x－2a≥0恒成立，（12分）又由，可得，即实数a的取值范围为.（15分）【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则.（5分）（2）由（1）可得，所以，（7分）所以.（10分）（3）由（1）可得（12分）（15分）易知在上单调递增，且恒成立，所以故得证.（17分）19.【详解】（1）的定义域为R,①当时，，在R上单调递减.（2分）②当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（4分）综上：若，在R上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增.（5分）（2）由（1）可知，①当时，在上单调递减，所以，不满足在上恒成立.（7分）②当时，在上单调递减，在上单调递增.1）若，即，在上单调递增，那么，满足在上恒成立.（9分）2）若，即，，则在上单调递减，在上单调递增.。不满足在上恒成立.综上，的取值范围是（11分）（3）①当，在R上单调递减，当；当，所以有一个零点.