2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第4讲 第3课时 利用导数研究函数的零点问题

第四章导数及其应用第4讲

导数与函数的综合应用第3课时利用导数研究函数的零点问题核心考向突破课时作业目录核心考向突破考向一

判断函数零点或方程根的个数利用导数确定函数零点或方程根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(需g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．已知函数f(x)＝(x－2)ex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)－a，讨论函数g(x)的零点个数．解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，又ex>0恒成立，∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．函数f(x)的极小值为f(1)＝－e，无极大值．(2)当x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，结合(1)中结论作出函数图象，如图，∴g(x)的零点个数等价于f(x)的图象与直线y＝a的交点个数．当a≥0时，f(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点；当－e<a<0时，f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点；当a＝－e时，f(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点；当a<－e时，f(x)的图象与直线y＝a无交点．综上所述，当a∈[0，＋∞)∪{－e}时，g(x)有唯一零点；当a∈(－e，0)时，g(x)有两个不同的零点；当a∈(－∞，－e)时，g(x)无零点．考向二

由函数零点个数求解参数取值范围设函数f(x)＝(x－2)ln(x－1)－ax，a∈R.(1)若f(x)在(2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．解：(1)由题意可得，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝ln2，令f′(x)<0，解得0<x<ln2，令f′(x)>0，解得x<0或x>ln2，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，ln2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)．(2)因为f(x)的单调递减区间为(0，ln2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)，且f(0)＝－1<0，则f(x)在(－∞，0)上无零点；由于f(ln2)＝2(ln2－1)－(ln2)2<0，则f(x)在(0，ln2)上无零点；由于f(2)＝e2－4>0，则f(x)在(ln2，2)上存在唯一零点．综上，函数f(x)在R上存在唯一零点．考向三

涉及函数零点、极值点的综合问题(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)＝aln(x＋1)－xex＋1.(1)当a<0时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在正零点x0，①求实数a的取值范围；②记x1为f(x)的极值点，证明：x0<3x1.(ⅰ)当a≤0时，可知f′(x)<0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，又f(0)＝0，故当x>0时，f(x)<0，所以f(x)不存在正零点；(ⅱ)当0<a≤e时，g(0)＝a－e≤0，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝a－(x＋1)2ex＋1<0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，故当x>0时，f(x)<0，函数f(x)不存在正零点；(ⅲ)当a>e时，lna－1>0，此时g(0)＝a－e>0，g(lna－1)＝a[1－(lna)2]<0，所以存在α∈(0，lna－1)满足g(α)＝0，所以f(x)在(－1，α)上单调递增，在(α，＋∞)上单调递减．(1)研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况．(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究．课时作业2．函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)3．(2025·广东佛山模拟)已知函数f(x)＝|x－2|ex－a，则(

)A．f(x)在(1，2)上单调递增B．x＝2是函数f(x)的极大值点C．f(x)既无最大值，也无最小值D．当a∈(1，2)时，f(x)有三个零点对于B，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以x＝1是函数f(x)的极大值点，故B错误；对于C，当x→－∞时，f(x)＝|x－2|ex－a>－a，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，又f(1)＝e－a>f(2)＝－a，所以f(x)的大致图象如图所示，f(x)的值域为[－a，＋∞)，所以f(x)有最小值，无最大值，故C错误；对于D，当x≥2时，f(x)在[2，＋∞)上单调递增，因为a∈(1，2)，所以f(2)＝－a<0，f(3)＝e3－a>0，所以f(x)在[2，＋∞)上有一个零点，当x<2时，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，又f(1)＝e－a>0，当x→－∞时，f(x)＝|x－2|ex－a>－a∈(－2，－1)，f(2)＝－a<0.结合f(x)的大致图象(如上图)，f(x)在(－∞，1)上有一个零点，在(1，2)上有一个零点．综上，当a∈(1，2)时，f(x)有三个零点，故D正确．故选D.二、多项选择题5．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(

)A．当a>1时，f(x)有三个零点B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心解析：对于A，f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，由于a>1，当x∈(－∞，0)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)，(a，＋∞)上单调递增，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，a)上单调递减，则f(x)在x＝0处取到极大值，在x＝a处取到极小值，由f(0)＝1>0，f(a)＝1－a3<0，则f(0)f(a)<0，根据零点存在定理，可知f(x)在(0，a)上有且只有一个零点，又f(－1)＝－1－3a<0，f(2a)＝4a3＋1>0，则f(－1)f(0)<0，f(a)f(2a)<0，则f(x)在(－1，0)，(a，2a)上各有一个零点，于是当a>1时，f(x)有三个零点，A正确；对于B，f′(x)＝6x(x－a)，由于a<0，故当x∈(a，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，此时f(x)在x＝0处取到极小值，B错误；对于C，假设存在这样的a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，即存在这样的a，b，使得f(x)＝f(2b－x)，即2x3－3ax2＋1＝2(2b－x)3－3a(2b－x)2＋1，易知等式左右两边x3的系数不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，C错误；6．(2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)＝3x－2x，则(

)A．f(x)是R上的增函数B．函数h(x)＝f(x)＋x有且仅有一个零点C．函数f(x)的最小值为－1D．f(x)存在唯一极值点三、填空题9．(2025·黑龙江大庆模拟)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝xa－ax在(0，＋∞)上有且仅有两个零点，则a的取值范围是__________________．(1，e)∪(e，＋∞)10．如果两个函数分别存在零点α，β，满足|α－β|＜n，则称两个函数互为“n度零点函数”．若f(x)＝ln(x－2)与g(x)＝ax2－lnx互为“2度零点函数”，则实数a的最大值为________．四、解答题11．(2025·江西抚州模拟)函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，函数f′(x)的导函数为f″(x)，已知函