2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第4讲 第2课时 利用导数研究不等式的证明问题

第四章导数及其应用第4讲

导数与函数的综合应用第2课时

利用导数研究不等式的证明问题核心考向突破课时作业目录核心考向突破考向一

单变量不等式的证明解：

(1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1.当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，当x<－lna时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，当x>－lna时，f′(x)>0，则f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．证法二：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，由于y＝ex在R上单调递增，所以h′(x)＝ex－1在R上单调递增，又h′(0)＝e0－1＝0，所以当x<0时，h′(x)<0，当x>0时，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立．利用作差构造法证明不等式的策略和基本步骤(1)策略：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，从而证得不等式．(2)基本步骤(2023·新课标Ⅱ卷节选)证明：当0<x<1时，x－x2<sinx<x.证明：构建F(x)＝x－sinx，x∈(0，1)，则F′(x)＝1－cosx>0对任意x∈(0，1)恒成立，则F(x)在(0，1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0，所以x>sinx，x∈(0，1)；构建G(x)＝sinx－(x－x2)＝x2－x＋sinx，x∈(0，1)，则G′(x)＝2x－1＋cosx，x∈(0，1)，构建g(x)＝G′(x)，x∈(0，1)，则g′(x)＝2－sinx>0对任意x∈(0，1)恒成立，则g(x)在(0，1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0，即G′(x)>0对任意x∈(0，1)恒成立，则G(x)在(0，1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0，所以sinx>x－x2，x∈(0，1)．综上所述，当0<x<1时，x－x2<sinx<x.利用双函数构造法证明不等式的策略(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．在证明过程中，等价转化是关键，若要证明f(x)≥g(x)恒成立，则需证明f(x)min≥g(x)max.(2)等价变形时，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点．已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.(2024·全国甲卷)已知函数f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的单调区间；(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<ex－1恒成立．考向二双变量不等式的证明双变量不等式的证明方法已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.考向三证明与正整数有关的不等式问题证明函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的多项式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的．课时作业解：(1)f′(x)＝a－a(lnx＋1)＝－alnx，若a＞0，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；若a＜0，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．5．已知函数f(x)＝aex－x－a.当a≥1时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①f(x)>xlnx－sinx；②f(x)>x(lnx－1)－cosx.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．证明：选择①：当a≥1，x>0时，f(x)＝aex－x－a＝a(ex－1)－x≥ex－1－x，当且仅当a＝1时，等号成立．设g(x)＝ex－x－xlnx＋sinx－1，x>0.当0<x≤1时，－xlnx≥0，sinx>0，ex－1－x>0，故g(x)>0；当x>1时，g′(x)＝ex－2－lnx＋cosx，设h(x)＝ex－2－lnx＋cosx(x>1)，选择②：当a≥1，x>0时，f(x)＝aex－x－a＝a(ex－1)－x≥ex－1－x，当且仅当a＝1时，等号成立．设g(x)＝ex－xlnx＋cosx－1，x>0.当0<x≤1时，－xlnx≥0，cosx>0，ex－1>0，故g(x)>0；当x>1时，g′(x)＝ex－1－lnx－sinx，设h