2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第3讲 随机事件与概率

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列第3讲随机事件与概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．随机试验及其特点(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．(2)特点①试验可以在相同条件下_____进行；②试验的所有可能结果是___________，并且_______________；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．重复明确可知的不止一个2．样本空间(1)随机试验E的每个可能的_________称为样本点，常用ω表示．(2)____________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．随机事件、必然事件与不可能事件(1)事件：将样本空间Ω的_______称为随机事件，简称事件．(2)基本事件：只包含_____________的事件称为基本事件．(3)必然事件：Ω包含了所有的样本点，在每次试验中_______________发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．(4)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中_________发生，我们称∅为不可能事件．基本结果全体样本点子集一个样本点总有一个样本点都不会关系或运算含义符号表示包含若事件A发生，则事件B______发生______相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA＝B并事件(和事件)事件A与事件B______________发生__________________交事件(积事件)事件A与事件B______发生A∩B(或AB)互斥(互不相容)事件A与事件B____________发生A∩B＝∅互为对立事件A和事件B在任何一次试验中_______________发生_____________________一定4．两个事件的关系和运算A⊆B至少有一个A∪B(或A＋B)同时不能同时有且仅有一个A∪B＝Ω，且A∩B＝∅5.古典概型(1)古典概型的特征一般地，若试验E具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有_________；②等可能性：每个样本点发生的可能性______．(2)古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝______．有限个相等6．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)____．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为___，即P(Ω)＝___，P(∅)＝___．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝____________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_________，P(A)＝_________．性质5：如果A⊆B，那么__________．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝_________________．≥0010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)P(A)≤P(B)P(A)＋P(B)－P(A∩B)7．频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的_____，频率偏离概率的幅度会_____，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的_________，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)______概率P(A)．增大缩小概率P(A)估计1．(2024·江苏如皋模拟)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则(

)A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)B．P(A)＋P(B)≤1C．P(A∩B)＝P(A)P(B)D．若A⊆B，则P(A)≤P(B)3．(人教B必修第二册5.3.2练习AT2改编)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，则P(A∪B)＝(

)A．0.5 B．0.6C．0.8 D．1解析：∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.3－0.2＝0.6.故选B.4．(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，事件B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，事件C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，事件D＝“取出的两个球不同色”，事件E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断正确的是(

)A．A与D为对立事件 B．B与C是互斥事件C．C与E是对立事件 D．P(C∪E)＝1解析：显然A与D是对立事件，A正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，C与E都发生，C不正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确．5．(人教B必修第二册5.3.1练习BT1改编)做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”，则这个试验的样本空间为____________________________________________________．Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}解析：这个试验的样本空间为Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．核心考向突破考向一

事件的关系及运算(1)(2025·陕西渭南模拟)已知6件产品中有3件正品，其余为次品．现从6件产品中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件是对立事件的是(

)A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品解析：对于A，恰好有1件次品和恰好有2件次品互斥，但不是对立事件；对于B，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；对于C，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；对于D，至少有1件次品即存在次品，与全是正品是对立事件．故选D.1．准确把握互斥事件与对立事件(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．1.(2024·浙江温州模拟)设A，B为同一试验中的两个随机事件，则“P(A)＋P(B)＝1”是“事件A，B互为对立事件”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：从编号为1至6的6个小球中摸出一个，设事件A表示“摸出质数”，事件B表示“摸出偶数”，则P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B不是对立事件，反之，若事件A与事件B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，所以“P(A)＋P(B)＝1”是“事件A，B互为对立事件”的必要不充分条件．故选B.2．(多选)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是(

)A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件解析：对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D错误．故选ABC.考向二

随机事件的频率与概率

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53

计算简单随机事件的频率或概率的步骤提醒：频率是随机的，而概率是一个确定的值，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．1.(多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示：假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是(

)A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26C．P(H)＝0.19 D．P(N＋H)＝0.65总人数食用大米套餐人数食用面食人数10005502602．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．考向三

古典概型(1)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．(2)(2025·江苏扬州模拟)将一枚骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为x1，x2，x3，则x1≤x2≤x3的概率为________．(3)袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球．①写出样本空间；②求取出的两球颜色不同的概率；③求取出的两球中至多有一个黑球的概率．解：①将1个红球记为a，2个白球记为b1，b2，3个黑球记为c1，c2，c3，则样本空间Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，共15个样本点．课时作业一、单项选择题1．(2024·上海普陀区模拟)从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则它的一个样本空间可以是(

)A．{AB，BC}B．{AB，AC，BC}C．{AB，BA，BC，CB}D．{AB，BA，AC，CA，CB}解析：两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则抽取两个球的情况为AB，AC，BC，即它的一个样本空间可以是{AB，AC，BC}．故选B.2．(2024·陕西榆林榆阳区校级一模)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(

)A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：记“抽验的产品是甲级品”为事件A，“抽验的产品是乙级品”为事件B，“抽验的产品是丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验一只是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.故选C.二、多项选择题9．(2024·河北沧州一模)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动，事件B：至少参加两种科普活动，事件C：只参加一种科普活动，事件D：一种科普活动都不参加，事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(

)A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件C．E＝C∪D D．A＝C∩E解析：对于A，事件A与事件D不会同时发生，A与D是互斥事件，A正确；对于B，事件B：至少参加两种科普活动，其对立事件为至多参加一种科普活动，B正确；对于C，事件C：只参加一种科普活动，事件D：一种科普活动都不参加，事件E：至多参加一种科普活动，E＝C∪D，C正确；对于D，C∩E＝C，D错误．故选ABC.10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：则下列说法正确的是(

)A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04所需时间/分钟30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1解析：“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD.三、填空题12．已知点A，B，C，D，E，F均匀分布在圆O上，从这6个点中任取三个点，则以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为________．14.(2024·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为________．四、解答题15．(2025·广东汕头模拟)某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩(满分100分)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b＝3a.(1)求出a，b，估计测试成绩的75%分位数和平均分；(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都