浙江省宁波市六校联盟2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷（含解析）

浙江宁波六校联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题一、单选题1．已知为实数，集合，若，则（

）A．0 B． C．2 D．32．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，点在一次函数的图象上，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（

）234560.670.560.470.390.31A． B．0.08 C． D．0.095．不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少得等待（

）小时后（结果取整数）开车才不构成酒驾（参考数据：）.A．7 B．8 C．9 D．107．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15B．样本相关系数越大，则线性相关性越强C．随机变量X的方差，期望，则D．若随机变量X服从正态分布，且，则10．下列结论正确的是（

）A．“，”的否定是“，”B．不等式的解集C．函数的定义域是D．函数过定点11．设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法中正确的是（

）A． B．当时，的取值范围为C．为奇函数 D．方程有6个不同的实数解三、填空题12．若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且，则__________．13．已知，则______．14．已知，，，则的最大值为____.四、解答题15．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值；(2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；16．已知函数.(1)用定义证明函数在上是增函数；(2)解不等式.17．.(1)求的值；(2)求在上的值域；(3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的最大值.18．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.(1)求，，的值；(2)求的值（用n表示）；(3)求的数学期望.19．已知函数，其中a为实数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若在上为严格增函数，求实数a的取值范围；(3)对于，若存在两个不相等的实数使得，求的取值范围．（结果用a表示）参考答案1．A【详解】.故选：A.2．A【详解】由，解得或，因为为或的真子集，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A.3．C【详解】∵点在一次函数的图象上，∴，即，∵，∴根据基本不等式有，∴，当且仅当时取“”，∴的最大值为.故选：C4．C【详解】根据题意可得，，由，可得，解得：.5．B【详解】由题意得，为的两个根，故，即，开口向下，AC选项错误，对称轴为，D选项错误.所以B选项正确.故选：B6．B【详解】设他至少得等待小时后开车才不构成酒驾，依题意可知，即，所以，即，所以可得，即，因此，又因为，所以他至少得等待8小时后开车才不构成酒驾.故选：B7．D【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则，由全概率公式可得，所以.故选：D8．B【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下：设，则有8个不同的零点，需有两个不同零点，不妨设同时分别对应4个零点，若，即，则，且，即，解之得.若，则仍需，此时，不符合题意，舍去；综上：.故选：B9．ACD【详解】1，2，4，5，6，12，18，20该组数据共8个数据，又，因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，所以A正确；样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，所以B错误；因为，由方差，期望，可得，所以C正确；因为且，所以，所以，所以D正确.10．BD【详解】对A，“，”的否定是“，”，所以A错误；对B，，所以，整理得且，解得，所以解集为，所以B正确；对C，函数的定义域是，所以C错误；对D，令，则，与的取值无关，所以函数过定点，所以D正确.11．BCD【详解】依题意，是偶函数，则有，则的图象关于直线对称，故，又，即，因此有，即，于是有，所以函数的周期，对于A，，故A错误；对于B，由的图象关于直线对称，且当时，，作图如下，故B正确；对于C，，所以为奇函数，故C正确；对于D，在同一平面作出函数的图象与的图象，如图，可得方程有6个不同的实数解，故D正确.故选：BCD.12．【详解】角终边与单位圆交于点，，，，．故答案为：．13．112【详解】因为，二项式展开式的通项公式为，所以二项式展开式的第3项为，所以由题意.故答案为：112.14．/【详解】令，，所以，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，结合，解得，即时，，所以的最大值为.15．(1)(2)分布列见解析，1【详解】（1）依题意可得，解得；（2）由（1）可得高度在的频率为，所以，，，，，所以的分布列为：X01234P所以.16．(1)证明见解析；(2)【详解】（1）任取，设，，又，，所以，故，即，函数在上是增函数.（2）因为，所以为偶函数，则由，可得，即，即，解得.17．(1)；(2)；(3)1.【详解】（1）；（2）.时，，在取得最大值，在取得最小值，即在上的值域为；（3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则，化简得.令，因为，令，所以，在单调递减，所以，，即，则，所以的最大值为1.18．(1)，，(2)(3)1【详解】（1）根据题意可得恰有0个黑球的概率为，根据古典概型可得，，所以.（2）由题意得，进一步整理可以得到下式：又故可以确定是以首项为，公比为的等比数列，所以；（3）由题意可得①，②，①-②，得，因为，所以.所以，的概率分布列为：012，所以的数学期望为定值1.19．(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，当时，，当时，取得最小值，，当时，在上单调递减，则，综上：的最小值为（2），当时，当时，，不是严格增函数，不合题意，舍去；当时，此时对称轴，且分段函数在处函数值相同，故满足在上为严格增函数，符合题意；当时，此时对称轴且，故在区间上单调递减，不合题意，舍去；当时，且，此时在上为严格增函数，符合要求.综上：实数a的取值范围为.（3）当时