部编版五年级数学下册第四单元：《最大公因数》教案：借助列举活动引导学生掌握找最大公因数方法落实因数应用训练培养逻辑思维与表达素养

部编版五年级数学下册第四单元：《最大公因数》教案：借助列举活动引导学生掌握找最大公因数方法，落实因数应用训练，培养逻辑思维与表达素养部编版五年级数学下册第四单元：《最大公因数》教案：借助列举活动引导学生掌握找最大公因数方法，落实因数应用训练，培养逻辑思维与表达素养课题与学情背景信息学科：五年级数学下册（部编版）；课题：第四单元《最大公因数》；课型：数与代数新授课（概念与方法）。五年级学生已经熟练掌握了因数的概念，能熟练地找出一个数的所有因数，理解了因数在整除关系中的作用。他们对倍数、互质等现象也有所了解。学习本课题可能存在的认知冲突在于：一是从找一个数的因数，过渡到同时找两个或多个数共有的因数，即公因数。二是理解“最大公因数”不仅是公因数中最大的那个数，更是刻画两个数的共同内在属性，有着广泛的实际应用（如分配问题、裁切问题）。三是掌握寻找最大公因数的有效方法，特别是列举法，以及如何从多个公因数中快速确定最大的公因数。四是理解并初步体验短除法（或质因数分解法）寻找最大公因数的便捷性（可以后续引入）。学生的心理预期可能是“学习找一个数因数的新方法”，容易忽略公因数概念建立和应用情境的理解，对方法背后的原理和操作规范关注不够。核心素养导向的教学目标知识与技能：理解公因数和最大公因数的意义。会用枚举法准确找出两个数的所有公因数和最大公因数。理解互质数（公因数只有1的两个数）的概念。能在实际问题（如均分、裁剪等）中，识别出需要求最大公因数的情境，并运用知识解决问题。过程与方法：学生经历“回顾因数的求法→找出两个数的因数集合→寻找两个集合的交集（公因数）并找出最大的（最大公因数）→在实际问题中抽象出公因数模型→尝试运用列举法解决实际问题”的学习过程。重点发展数感和模型思想。在操作和比较中，培养有序思考、分类归纳的能力。学习运用集合图（维恩图）表示公因数，实现直观理解。情感态度与价值观：在探索最大公因数的过程中，感受数学方法的严谨性和解决问题的条理性。通过解决实际问题，体会数学在优化分配、合理规划中的应用价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。培养合作交流、探索反思的学习习惯。教学重难点及突破策略教学重点：理解公因数和最大公因数的概念；掌握用列举法求两个数的最大公因数。理由：这是本节课的核心知识，是后续学习约分（利用最大公因数化简分数）、解决相关实际问题的基础。教学难点：理解公因数的意义；能灵活运用列举法准确、快速地找出所有公因数，并从中确定最大公因数；将实际问题抽象为求最大公因数的问题。原因：学生需要从“一个数”的视角转向“两个数共同具有”的视角。列举法要求全面、有序、不重不漏，对思维的条理性要求高。应用问题需要学生能识别“均分”、“最大”、“最长”、“最宽”等关键词，并理解它们与最大公因数的联系。突破策略：复习铺垫，引出“共有”：快速复习求一个数因数的方法。例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12。18的因数有：1，2，3，6，9，18。提问：“观察12和18的因数，哪些数它们俩都有？”引出“公有的因数”即公因数的概念。借助集合图，直观呈现：用一个圆圈代表12所有的因数集合，另一个圆圈代表18所有的因数集合。把两个圆圈重叠在一起（画成维恩图），重叠部分的数就是它们公有的因数（公因数）。归纳定义，突出“最大”：引导学生在所有公因数（如12和18的公因数为1，2，3，6）中，找出最大的那一个，它就是最大公因数。引出用符号(12,18)=6表示12和18的最大公因数是6。创设情境，应用理解：情境一（均分物品）：把12本笔记本和18支铅笔平均分给若干名同学，每个同学分得的笔记本数相同，铅笔数也相同，且恰好分完。最多可以分给多少名同学？引导学生理解：人数必须是12和18公有的因数，且要最多，就是求12和18的最大公因数。情境二（裁切问题）：有一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸。要把它裁成若干个同样大小的正方形纸片（纸片边长必须是整厘米数），且不能有剩余。正方形的边长最长是多少厘米？引导学生理解：正方形的边长必须是长和宽的公因数，且要最长，就是求12和8的最大公因数。方法指导，有序枚举：指导学生用列举法求公因数时，可以先分别独立、有序地列举两个数的所有因数，再从两个因数列表中找出共同的数（即公因数），最后选出最大的。强调有序、不遗漏。初步了解快捷方法：在学生掌握列举法后，可以介绍质因数分解法或短除法的基本思想，作为拓展或后续学习的铺垫（本节课重点在理解概念和掌握列举法，快捷方法可以略讲）。教学准备与资源描述教师材料：用两个交叠的圆形（维恩图）表示公因数的图示。标有12和18的因数集合图的卡片。几个求最大公因数的实际问题情境卡片（如均分任务、裁剪任务）。列举法求最大公因数的步骤流程图或表格范例。(12,18)=?12的因数：1,2,3,4,6,1218的因数：1,2,3,6,9,18公因数：1,2,3,6最大公因数：6​12的因数：1,2,3,4,6,1218的因数：1,2,3,6,9,18公因数：1,2,3,6最大公因数：6​几张写有不同数字对的卡片，用于课堂练习。学生材料（同桌或四人小组一份）：探究学习单：第一部分“我会找因数（复习）”；第二部分“我发现了‘共同点’（找公因数）”；第三部分“谁最大？（找最大公因数）”；第四部分“我来解决问题（应用最大公因数）”。学具：草稿纸。学生预习要求：预习课本第60页例1、例2、例3。复习如何找出一个数的所有因数（如16、24）。想一想：两个数的因数中可能会有相同的吗？这些相同的因数有什么用？教学过程第一环节：情境导入——从“分配”问题走向数学概念师（创设情境）：“同学们，学校图书室新进了一批图书，有12本科普书和18本故事书。管理员王老师想把这些书整理到一些书架上，要求每个书架上的科普书本数完全相同，故事书本数也完全相同，并且这些书刚好放完（不剩书）。请问，王老师最多可以准备多少个这样的书架？”（学生思考，可能会尝试推理或枚举。）师：“这个问题听起来有点复杂，但我们如果把它变成数学语言，就会发现它其实很简单。请同学们先找出12的所有因数，再找出18的所有因数。比比看，它们的因数有什么‘共同点’？”（学生很快能写出：12的因数：1,2,3,4,6,1218的因数：1,2,3,6,9,18师：“看，它们有哪些共同的因数呢？”生：“1，2，3，6。”师：“那么，书架的数量可以是这些共同的因数中的任意一个。题目要求‘最多’，所以我们要找这些共同因数中最大的那一个。它是几？”生：“6。”师：“对！王老师最多可以准备6个书架，每个书架上放2本科普书（12÷6=2）和3本故事书（18÷6=3）。今天，我们就来深入研究这种‘共同的因数’，以及其中最大的一个，它们就是今天的主角——公因数和最大公因数。”（板书课题）【设计意图】从“分类整理图书”这一贴近学生生活又富有挑战性的实际问题导入，让学生感受到学习新知识的必要性。问题中“完全相同”、“刚好放完”、“最多”等词语，精准地对应了公因数和最大公因数的核心特征。教师引导学生将实际问题转化为找公共因数的数学问题，既回顾了因数知识，又自然而然地引出了公因数和最大公因数的概念，体现了数学建模的思想。第二环节：探究新知——建构概念，掌握方法步骤一：定义公因数，引入集合图直观理解师：“像1、2、3、6这样，既是12的因数，又是18的因数的数，我们就说它们是12和18的公因数。”师（出示画有两个相交圆的维恩图）：“为了更直观地看到哪些因素是‘共有’的，我们可以用这样的集合图来表示。请大家看：左边的圆里是12的所有因数，右边的圆里是18的所有因数。两个圆重叠的部分，就是它们都有的数——也就是它们的公因数。”（教师在图中相应位置填写数字。）师：“请你们和同桌一起，用集合图（或学习单上的集合区）来表示一下8和12的公因数。先分别写出8的因数和12的因数，再把公有的数填在中间重叠的区域。”（学生操作，完成后交流。8的因数：1，2，4，8；12的因数：1，2，3，4，6，12；公因数：1，2，4。教师巡视指导。）步骤二：定义最大公因数，学习符号表示师：“从8和12的公因数1,2,4中，我们找出最大的一个。它是多少？”生：“4。”师：“对！我们把公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。8和12的最大公因数就是4。我们可以用符号这样表示：(8,12)=4，括号里写两个数，等号后面写它们的最大公因数。同学们，刚才12和18的最大公因数是多少？用符号怎么表示？”生：“6。写作(12,18)=6。”师：“非常好！请再和同桌一起，求一求15和25的最大公因数，并用符号表示出来。记得用列举法和集合图辅助思考。”（学生尝试后交流：15因数：1，3，5，15；25因数：1，5，25；公因数：1，5；最大公因数：5；符号：(15,25)=5。）步骤三：学习列举法求最大公因数（规范步骤）师（板书或展示规范步骤）：“通过刚才的例子，我们发现用列举法求两个数的最大公因数，可以分几步走：第一步，分别找出每个数的所有因数（有序地找）。第二步，找出它们公有的因数（即公因数）。第三步，从公因数中挑出最大的一个，它就是最大公因数。”师：“关键是要有序、全面。比如找因数时，我们可以从1试到这个数本身，按对来找，避免遗漏。”步骤四：引入互质数的概念师：“请大家再试一试，找出4和9的所有公因数和最大公因数。”（学生操作：4因数：1，2，4；9因数：1，3，9；公因数：1。）师：“4和9的公因数有几个？”生：“只有一个，就是1。”师：“那么它们的最大公因数就是1。我们把像这样，公因数只有1的两个数，叫做互质数。比如4和9就是互质数。你们还能举出其他互质数的例子吗？”生可能举例：“2和3”，“5和8”。师：“注意：互质数是指两个数只有公因数1，并不是说这两个数本身必须是质数。两个质数一定是互质数，但两个合数也可能互质（如4和9），一个质数一个合数也可能互质（如5和8）。”【设计意图】新知探究环环相扣，逻辑清晰。第一步，在复习找因数的基础上，通过找“共同因数”引出“公因数”概念，并引入集合图进行直观表征，帮助学生建立清晰的表象。第二步，在公因数的集合中找出最大的一个，自然引出“最大公因数”的概念和符号表示，并进行应用练习。第三步，将前两步的操作过程总结为规范的“列举法”步骤，培养学生的有序思维和规范解题习惯。第四步，作为特殊情况，引入“互质数”概念，拓宽学生的认知广度。整个过程体现了从具体到抽象、从特殊到一般、从感知到操作的完整学习路径。第三环节：巩固练习——分层应用，深化理解基础题（概念辨析与基本方法）：题干：①写出下面每组数的公因数和最大公因数。8和12的公因数有（），最大公因数是（），写作（）。9和15的公因数有（），最大公因数是（），写作（）。②判断：两个数的公因数一定是它们最大公因数的因数。（）互质的两个数一定都是质数。（）预期答案与讲解：①(8,12)公因数：1，2，4；最大公因数：4；写作(8,12)=4。(9,15)公因数：1，3；最大公因数：3；写作(9,15)=3。②第一句对（所有公因数都是最大公因数的约数）；第二句错（如4和9互质但都不是质数）。教师讲解：“第一题巩固公因数、最大公因数的概念及求法和符号表示。第二题深化理解公因数与最大公因数的关系，以及互质数的概念。”应用题（实际问题建模）：题干：①有两根木料，一根长12米，另一根长18米。现在要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长是几米？一共可以截成多少段？②五年级一班有男生24人，女生18人。体育课上，老师要把男女分开分组，要求每组男生人数相等，每组女生人数也相等，且正好分完。每组最多有多少人？一共可以分成几个小组？预期思路与点拨：①求12和18的最大公因数。(12,18)=6（米）。最长每小段6米。总段数：(12÷6)+(18÷6)=2+3=5（段）。②这是两个独立的分组问题，男生组的组数应是24的公因数，女生组的组数应是18的公因数，但题目问的是每组的人数（男、女每组人数可以不同），并且要求“最多”（即组数最少）。需要分开求：男生每组最多人数即24和？的最大公因数？不，这里“每组男生人数”就是男生人数能被整除的数，即24的因数；同样，女生每组人数是18的因数。但要让各组人数都“最多”，实际上是要求男生组数和女生组数能整除各自的总人数且尽量少（这样每组人数才多）。所以，男生最少分1组（24人/组），最多分24组（1人/组），女生同理。题目“最多”有歧义，可能需要说明“每组男、女生人数分别最多”？更好的理解是“分成的小组的总数（男、女小组和）最少”，但这较复杂。常见题型是求“每组的人数相等且是男女生人数的公因数”，本题不适用。可能原意是“如果男女生混合分组，每组男、女生人数相等”是另一种题型。为聚焦应用最大公因数，可修改题目②为：“把24个男生和18个女生分别编成表演队，要求每个队的男（女）生人数相等且编队数相同。最多能编几个队？”这样才能抽象为求24和18的最大公因数6。教师讲解时需要明确抽象模型。修改后②：求24和18的最大公因数，得6。最多能编6个队。男生队每队4人，女生队每队3人。挑战题（思维拓展与综合）：题干：①一个数既是30的因数，又是45的因数，这个数最大是多少？②已知a=2×3×5，b=2×5×7，那么a和b的最大公因数是多少？（为后续质因数分解法或短除法埋下伏笔。）教师点拨：①即求30和45的最大公因数。用列举法：(30,45)=15。②观察两个数的质因数分解式，它们公共的质因数部分是2×5，所以最大公因数是10。教师可适当引导观察，但不作深入要求。教师讲解：“第①题是最大公因数的概念的直接应用。第②题初步接触用质因数分解求最大公因数的方法，为后续学习铺设引子。”第四环节：课堂小结——梳理脉络，明确体系师：“同学们，今天我们共同探索了因数家族中一个非常重要的概念——最大公因数。”（引导梳理）“我们先是遇到了一个实际问题（分书架），需要找到两个数（12和18）共有的因数，也就是它们的公因数。在公因数中，最大的那一个，就是最大公因数。我们知道了表示的方法：(a,b)=最大公因数。”“求最大公因数，我们掌握了一种好方法——列举法。分三步：找因数、找公因数、找最大公因数。有序和全面是它的关键。”“我们还认识了一类特殊的数对——互质数，它们的公因数只有1，最大公因数就是1。”“最后，我们发现很多实际问题，像‘最长’、‘最多’、‘刚好分完’这样的要求，往往都可以抽象成求两个（或多个）数的最大公因数来解决。这体现了数学在生活中的强大威力。”第五环节：作业布置——分层设计，巩固内化必做作业：巩固练习：完成课本练习十五第1、2、3题（直接求最大公因数、应用题）。概念应用：从生活中寻找或自己编一道可以用求“最大公因数”解决的实际问题，并解答出来。选做作业（二选一）：思维挑战（拓展应用）：①有三根木棒，长度分别是12厘米、16厘米和20厘米。要把它们截成尽可能长且相等的小段，不许有剩余，每小段最长是多少厘米？（初步接触三个数的最大公因数）②已知某两个自然数的最大公因数是6，它们的最小公倍数是36（可暂不要求），其中一个数是12，另一个数是多少？（逆向思维，根据最大公因数推理）数学探索（方法探究）：除了列举法，你还能想到其他求最大公因数的方法吗？可以尝试研究一下，并与同学或家长交流。作业评价量表（Rubric）：优秀（★★★）：必做作业全对，求最大公因数过程规范、准确；自编实际问题合理、模型提炼准确；选做作业思路清晰、解答正确，或探究有新意。良好（★★）：必做作业基本正确；有自编问题；完成了必做和一项选做。合格（★）：必做作业有少量错误，基本能找出公因数和最大公因数；有简单的自编问题但可能不够准确；未尝试选做作业。加油（待改进）：必做作业错误多，找因数不全、找公因数错，概念不清；自编问题作业未做。预设性教学反思本节课的生成性高潮预计出现在学生首次将“分配书架”的实际问题，成功地转化为寻求12和18的“共同因数”，并最终找出“最大公因数”