2025-2026学年吉林省长春市九台一中、农安实验中学等校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省长春市九台一中、农安实验中学等校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数的共轭复数为（）A.-2-4i B.-2+4i C.2+4i D.2-4i2.若向量=（-3，1），=（1，-2），则在上的投影向量为（）A.（-1，2） B.（1，-2） C. D.3.如图，用斜二测画法画出的水平放置△ABC的直观图为△A′B′C′，且B′C′=3，∠A′B′C′=，则AB=（）A.8

B.4

C.6

D.34.三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱所在的直线中，与直线AA1是异面直线的直线条数为（）A.1 B.2 C.3 D.45.某游艇从A地出发向北航行了一段距离到达B地，然后从B地向东偏南60°方向航行了40km到达C地，且C地在A地北偏东20°方向上，则A地与C地之间的距离为（取sin20°=）（）A.30km B.50km C.60km D.80km6.已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（）A. B. C. D.7.从长度为2，4，5，7的4条线段中选出3条线段首尾相连构成三角形，则该三角形的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定的8.若向量，满足||=2||，|+2|=，|2-|=，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知点P，直线l,n,平面α，β，γ，则下列结论正确的是（）A.经过P和l,有且只有一个平面

B.若P∈α，P∈β，α∩β=l,则P∈l

C.若α∥β，α∩γ=l,β∩γ=n,则l∥n

D.若l∥α，则l平行于α内的任意一条直线10.已知点A（1，0），B（-1，2），向量，且△ABC是直角三角形，则t的值可能为（）A.-1 B.1 C.3 D.511.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且A=2B+2C，2b=3c,D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（）A.

B.△ABC的周长为

C.若AD为△ABC的中线，则

D.若AD为△ABC的角平分线，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.|2+i11|=

.13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,A=50°，b=3，a=5，则△ABC解的个数为

.14.在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=4，M是侧棱PA上最靠近A的四等分点，一只蚂蚁从M出发沿该正四棱锥的表面爬行到C，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为d,则d=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b=，B=.

（1）求△ABC外接圆的面积；

（2）若a=2，求△ABC的面积.16.(本小题15分)

已知复数z1=m2-m-2i,z2=2-|m|i,m∈R.

（1）若z1-z2为实数，求m的值；

（2）若z1-z2为纯虚数，求z1-z2；

（3）证明：z1+z2在复平面内对应的点位于第四象限.17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，CD，BB1的中点.

（1）证明：A1，B，E，F四点共面.

（2）若P是线段CG上的动点，证明：PD1∥平面A1BFE.18.(本小题17分)

如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点.

（1）用表示，.

（2）求.

（3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且bsinA=2sinB.

（1）求a.

（2）已知sinB+sinC-sinA=sinBsinC.

（i）证明：.

（ii）求bc的最大值.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】．

13.【答案】1．

14.【答案】．

15.【答案】13π

16.【答案】m=±2

-i

证明：，

因为，-|m|-2＜0，

所以z1+z2在复平面内对应的点（m2-m+2，-|m|-2）位于第四象限

17.【答案】连接D1C，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1=BC，

所以四边形A1D1CB为平行四边形，

所以A1B∥D1C，

因为E、F分别是DD1、CD的中点，所以EF∥D1C，

所以EF∥A1B．

又两条平行线确定一个平面，

所以A1，B，E、F四点共面

取AA1中点H，连接DH，GH，

正方体ABCD-A1B1C1D1中，G、H为中点，

则GH∥AB∥DC，GH=AB=DC，

所以四边形HGCD为平行四边形，所以GC∥HD，

正方形ADD1A1中，AA1∥DD1，AA1=DD1，

又E、H为中点，所以A1H=ED，A1H∥ED，

所以四边形A1EDH为平行四边形，所以A1E∥HD，

所以A1E∥GC．

又A1E⊂平面A1BFE，GC⊄平面A1BFE，

所以GC∥平面A1BFE．

由（1）知，A1B∥D1C，同理可得D1C∥平面A1BFE．

又D1C∩GC=C，D1C，GC⊂平面D1CG，

所以平面D1CG∥平面A1BFE．

又PD1⊂平面D1CG，

所以PD1∥平面A1BFE

18.【答案】

是，

19.【答案】a=2

（i）因为△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinB+sinC-sinA=sinB+sinC-sin（B+C）=sinB+sin