2025-2026学年山东省济南市天桥区八年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省济南市天桥区八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下面是4个AI“神器”的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A.m（a-2）=am-2m B.4x2-1=（2x+1）（2x-1）

C.x2+3x-5=x（x+3）-5 D.3.下列分式是最简分式的是（）A. B. C. D.4.如果a＜b,那么下列不等式中一定成立的是（）A.a+5＞b+5 B. C.-3a＞-3b D.a-b＞05.将点P（-2，3）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（）A.（1，1） B.（-5，1） C.（1，5） D.（-5，5）6.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，点D恰好在BC上.若∠CAE=54°，则∠ADE的度数为（）A.45°

B.54°

C.60°

D.63°7.某新能源汽车生产车间，现在平均每天比原计划多组装30辆新能源汽车，现在组装900辆新能源汽车所需时间与原计划组装600辆新能源汽车所需时间相同.设现在平均每天组装x辆新能源汽车，根据题意，下面所列方程正确的是（）A. B. C. D.8.如图，直线y=ax+b和直线y=mx+n交于点（1，2），则关于x的不等式（a-m）x＞n-b的解集为（）A.x＞2

B.x＜2

C.x＞1

D.x＜19.关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是（）A.m＜-6且m≠2 B.m＞6且m≠2 C.m＜6且m≠-2 D.m＜6且m≠210.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1.依此方式，将正方形OABC绕点O连续旋转2026次得到正方形OA2026B2026C2026，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2026的坐标为（）A.（1，1）

B.

C.

D.（-1，1）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.因式分解：x2+5x=

.12.若分式的值为0，则x的值为

.13.若关于x的不等式（m-1）x＞m-1的解集为x＜1，则m的取值范围是

.14.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC的方向平移13cm到达三角形DEF的位置，若AB=5cm,BC=10cm,则阴影部分的面积为

cm2.15.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是

.

三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

因式分解：

（1）3ax2+6axy+3ay2；

（2）x2（x-y）+y2（y-x）.17.(本小题6分)

计算：

（1）；

（2）.18.(本小题6分)

解方程：.19.(本小题6分)

解不等式组，并写出其整数解.20.(本小题8分)

先化简，再求值：，其中x=-1.21.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）.

（1）把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；

（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；

（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（______，______）中心对称.22.(本小题12分)

根据以下素材，探究完成任务.背景2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品.素材一线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元.素材二2025年线上平台促销活动信息如下：

方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；

方式二：非会员所有商品打9折.解决问题任务一线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？任务二林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）.

若林老师按方式一购买，共需______元；

若林老师按方式二购买，共需______元.

（均用含m的代数式表示）任务三请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？23.(本小题10分)

宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍.

（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价；

（2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？24.(本小题12分)

【定义新知】

给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”.

例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集.

同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”.

例如：不等式组M：是不等式组N：的子集.

【新知应用】

（1）请写出不等式x＜2的一个子集______；

（2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组______是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；

（3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______；

（4）若a,b,c,d为互不相等的整数，a＜b,c＜d,下列三个不等式组D：a≤x≤b,E：c≤x≤d,F：4＜x＜9，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则a（b+c+d）的值为______；

（5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：1＜x≤3是不等式组G的“子集”，且m,n为正整数，则的最大值为______.25.(本小题12分)

阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______；

（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】x（x+5）

12.【答案】-2

13.【答案】m＜1

14.【答案】40

15.【答案】3+3

16.【答案】3a（x+y）2

（x+y）（x-y）2

17.【答案】2

18.【答案】．

19.【答案】4＜x≤6，整数解为5，6．

20.【答案】，．

21.【答案】△A1B1C1即为所求；

△A2B2C2即为所求

-;0

22.【答案】（384+2.4m）

（378+2.7m）

23.【答案】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元，

根据题意得：=×1.5，

解得：x=148，

经检验，x=148是所列方程的解，且符合题意，

∴x+30=178，

答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；

（2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装（30-m）套，

根据题意得：148（30-m）+178m≤5000，

解得：m≤18，

∴m的最大值为18，

答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．

24.【答案】x＜1（答案不唯一）

A

a≥2

120

25.【答案】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，

∴AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB，

由题意知旋转角∠PA

P′=60°，

∴△AP

P′为等边三角形，

PP′=AP=3，∠AP′P=60°，

易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，

∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；

故答案为：150°；

(2)如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，

由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△EAF和△E′AF中，

∴△EAF≌△E′AF（SAS），

∴E′F=EF，

∵∠CAB=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠E′CF=45°+45°=90°，

由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，

即EF2=BE2+FC2．

（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，

∴AB=2，

∴BC=，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，

∴△A′O′B如图所示；

∠A′BC=∠ABC+60°=30°