福州理工学院《高等数学提高课程》2025-2026学年期末试卷(B卷)

说明：本试卷将作为样卷直接制版胶印，请命题教师在试题之间留足答题空间。（第1页共6页）制卷人签名：制卷人签名：制卷日期：审核人签名：：审核日期：………………………………………………装……订……线…………………福州理工学院《高等数学提高课程》2025-2026学年期末试卷(B卷)适用年级专业考试方式闭卷考试时间120分钟学院专业班级学号姓名题号一二三四五六七八总分阅卷教师得分………………得分一、填空题（10题，每题3分，共30分）

1.设函数f(x)在点x₀处可导，且f’(x₀)=2，则极限∫₍ₓ₀ₓ₊₁₎f’(t)dt的值为_______。

2.函数f(x)=ln(x²+1)在区间[0,1]上的平均变化率为_______。

3.若函数y=xe(−x)的二阶导数为y’‘，则y’‘(0)的值为_______。

4.不定积分∫(1/x)ln(x)dx的解析式为_______。

5.设f(x,y)=x²+y²，则f(x,y)在点(1,1)处的梯度向量∇f(1,1)为_______。

6.级数∑(n=1to∞)(1/2n)的收敛值为_______。

7.微分方程y’+y=0的通解为_______。

8.若向量场F(x,y,z)=yzi+xj+zk，则其散度∇·F在点(1,1,1)处的值为_______。

9.函数f(x,y)=x³-3xy²在点(1,1)处的Hessian矩阵为_______。

10.若函数f(x)在[0,2π]上以2π为周期，且f(x)=sin(x)，则其傅里叶级数中a₁的值为_______。

二、选择题（8题，每题3分，共24分，不定项选择，正确答案不唯一）

1.下列函数中，在x→0时，与x线性等价的有_______。

A.sin(x)

B.tan(x)

C.ln(1+x)

D.ex−1

2.若函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0，则∫ₐᵇ√f(x)dx的几何意义为_______。

A.曲边梯形的面积

B.曲边三角形的面积

C.旋转体的体积

D.表面积

3.微分方程y’’-4y=0的特征根为_______。

A.±2i

B.±2

C.±4i

D.±4

4.设向量场F(x,y)=(-y,-x)，则F在平面上是_______。

A.无旋场

B.无源场

C.保守场

D.哈密顿场

5.级数∑(n=1to∞)(n/n+1)的敛散性为_______。

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.无法判断

6.若函数f(x,y)在点(x₀,y₀)处取得极值，且f在点(x₀,y₀)处的二阶偏导数存在，则必有_______。

A.Δ=AC-B²>0（其中A=fₓₓ,B=fₓₓ,C=f<0xE2><0x82><0x9E>ₓ<0xE2><0x82><0x9E>）

B.Δ=AC-B²<0

C.Δ=AC-B²=0

D.A=B=0

7.设函数f(x,y)=x²+y²，则其在区域D:x²+y²≤1上的最大值为_______。

A.1

B.0

C.π

D.2

8.若函数f(x)在[a,b]上可积，则其积分中值定理中的ξ满足_______。

A.ξ∈(a,b)

B.ξ=a或ξ=b

C.ξ为区间内任意点

D.ξ为区间端点

三、计算题（5题，每题4分，共20分，计算量大、多换元、多技巧）

1.计算不定积分∫(x²/(x²+1)(3/2))dx。

2.计算定积分∫₍ₐₐ₊₁₎(xsin(x))dx(a为常数)。

3.计算极限lim(n→∞)(1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n))。

4.计算向量场F(x,y)=x²i+y²j在点(1,1)处的旋度∇×F。

5.计算级数∑(n=1to∞)(n2/(2n))的前n项和Sₙ的极限lim(n→∞)S