第4课时完全平方公式的应用

第一章整式的乘除3乘法公式第4课时完全平方公式的应用A.

基础夯实1.

下列对于952变形正确的是（C）.A.952＝（90＋5）2＝902＋52B.952＝95×95＝（100＋5）（100－5）C.952＝（100－5）2＝1002－2×100×5＋52D.952＝（90＋5）2＝902＋90×5＋52C12345678910112.

下列乘法公式的运用中，正确的是（C）.A.

（2x－3）（2x＋3）＝2x2－9B.

（－3x－1）2＝9x2－3x＋1C.

（1－x）（－1＋x）＝－x2＋2x－1D.

（－x－1）（－1＋x）＝x2－1C12345678910113.

已知M＝4a，N＝a2＋4（a≠2），则M，N的大小关系为（B）.A.

M＞NB.

M＜NC.

M＝ND.

M≤NB12345678910114.

（2025·宝安区期中）以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，

设计出“中”字图案，如图所示.若四个正方形的周长之和为40，面积之和

为26，则长方形ABCD的面积为

⁠.61234567891011

12345678910115.

（2025·深圳市31校联考期末）一个长方形的周长为18，若它的长为x，宽

为y，且x，y满足（x－y）2－5＝0，则这个长方形的面积为

⁠.

1912345678910116.

（2025·光明区模考）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，

减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（D）.A.

B.

－

C.

D.

－

D1234567891011

12345678910117.

利用乘法公式计算：（1）1022；

解：1022＝（100＋2）2＝10000＋4＋400＝10404.（2）1982.解：1982＝（200－2）2＝40000－2×200×2＋4＝39204.1234567891011

12345678910118.

计算：（2）（m＋n－1）2.解：（m＋n－1）2＝（m＋n）2－2（m＋n）×1＋12＝m2＋2mn＋n2－2m－2n＋1.1234567891011B.

能力提升9.

已知（x－y）2＝4，（x＋y）2＝64，求下列代数式的值：（1）x2＋y2；

解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①，（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②.①＋②得x2＋y2＝34.12345678910119.

已知（x－y）2＝4，（x＋y）2＝64，求下列代数式的值：（2）xy. 解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①，（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②.解：②－①得4xy＝60，即xy＝15.123456789101110.

已知x＋y＝3，xy＝1，求下列各式的值：（1）x2＋y2；

解：x2＋y2＝（x＋y）2－2xy，将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－2＝7.（2）x2＋xy＋y2；

解：x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy，将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－1＝8.123456789101110.

已知x＋y＝3，xy＝1，求下列各式的值：（3）x4＋y4.解：x4＋y4＝（x2＋y2）2－2x2y2＝[（x＋y）2－2xy]2－2（xy）2，将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝（32－2）2－2＝47.1234567891011C.

拓展思维11.

（2024·深圳市第二实验学校期末）阅读理解：若x满足（30－x）（x－20）＝16，求（30－x）2＋（x－20）2的值.解：设30－x＝a，x－20＝b，则（30－x）（x－20）＝ab＝16，a＋b

＝（30－x）＋（x－20）＝10，所以（30－x）2＋（x－20）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×16＝

68.（1）【类比探究】若x满足（80－x）（x－50）＝300，求（80－x）2＋（x－50）2的值；1234567891011解：设80－x＝a，x－50＝b，则（80－x）（x－50）＝ab＝300，a＋b＝（80－x）＋（x－50）＝30，所以（80－x）2＋（x－50）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝302－2×300＝300.123456789101111.

（2024·深圳市第二实验学校期末）阅读理解：若x满足（30－x）（x－20）＝16，求（30－x）2＋（x－20）2的值.解：设30－x＝a，x－20＝b，则（30－x）（x－20）＝ab＝16，a＋b

＝（30－x）＋（x－20）＝10，所以（30－x）2＋（x－20）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×16＝

68.（2）【联系拓展】若x满足（2

025－x）（2

020－x）＝5，则（2

025－x）2＋（2

020－x）2＝

；（直接写出结论，不用说明理由.）351234567891011解：设2025－x＝a，2020－x＝b，则ab＝5，a－b＝2025－x－（2020－x）＝5，所以（2025－x）2＋（2020－x）2＝a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝52＋2×5＝35.故答案为35.123456789101111.

（2024·深圳市第二实验学校期末）阅读理解：若x满足（30－x）（x－20）＝16，求（30－x）2＋（x－20）2的值.解：设30－x＝a，x－20＝b，则（30－x）（x－20）＝ab＝16，a＋b

＝（30－x）＋（x－20）＝10，所以（30－x）2＋（x－20）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×16＝

68.（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB＝21，BC＝14，点E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？1234567891011解：由题意得FC＝（21－x），EC＝（14－x），所以阴影部分的面积和为（21－x）2＋（14－x）2.因为长方形CEPF的面积为150，所以（21－x）（x－14）＝－150.设21－x＝a，x－14＝b，则（21－x）（x－14）＝ab＝－150，a＋b＝

（21－x）＋（x－14）＝7，所以（21－x）2＋（x－14）2＝（21－x）2＋（14－x）2＝a2＋b2＝（a＋

b）2－2ab＝49－2×（－150）＝349，所以阴影部分的面积和为349平方单位.1234567891011参考答案1.

C

2.C

3.B4.6

解析：令AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，因为以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，四个正方形的周长之

和为40，面积之和为26，所以8（a＋b）＝40，2（a2＋b2）＝26，所以a＋b＝5，a2＋b2＝13，

5.19

解析：因为长方形的周长为18，它的长为x，宽为y，

因为（x－y）2－5＝0，所以（x－y）2＝5，所以（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝5，所以92－4xy＝5，所以4xy＝76，所以xy＝19.所以这个长方形的面积为19.6.

D

解析：依题意，设小的实数为r，大的实数为（r＋m），因为用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，

7.

解：（1）1022＝（100＋2）2＝10

000＋4＋400＝10

404.（2）1982＝（200－2）2＝40

000－2×200×2＋4＝39

204.

（2）（m＋n－1）2＝（m＋n）2－2（m＋n）×1＋12＝m2＋2mn＋n2－2m－2n＋1.9.

解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①，（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②.（1）①＋②得x2＋y2＝34.（2）②－①得4xy＝60，即xy＝15.10.

解：（1）x2＋y2＝（x＋y）2－2xy，将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－2＝7.（2）x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy，将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－1＝8.（3）x4＋y4＝（x2＋y2）2－2x2y2＝[（x＋y）2－2xy]2－2（xy）2，将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝（32－2）2－2＝47.11.

解：（1）设80－x＝a，x－50＝b，则（80－x）（x－50）＝ab＝

300，a＋b＝（80－x）＋（x－50）＝30，所以（80