高三二轮高效复习讲义数学专题突破三角函数与平面向量微点突破5三角形中的特征线

微点突破5三角形中的特征线▶对应学生用书P35【考情分析】与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中档或偏下.重点1三角形的中线1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).2.中线的向量表示：AD2＝14(AC2＋AB2＋2·｜AC｜·｜AB｜(2025·广西桂林一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝(a＋c)2－ac.(1)求B；(2)若b＝3，求△ABC的周长的最大值；(3)若△ABC的面积为3，D为AC的中点，且AC＝23，求BD的长.解：(1)∵b2＝(a＋c)2－ac，∴b2＝a2＋c2＋ac，又据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴cosB＝－12∵B∈0，π，∴B＝(2)由b＝3及已知得9＝(a＋c)2－ac，又∵ac≤a+c22，∴(a＋c)2－9＝∴a＋c≤23，当且仅当a＝c＝3时，等号成立，故△ABC的周长最大值为3＋23.(3)S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3⇒ac＝4，则c＝由b2＝a2＋c2－2accosB，得12＝a2＋c2＋4，则a2＋c2＝8，故a2＋16a2＝8，化简得a4－8a2＋16＝a2－42＝0∴a＝c＝2，又D为AC的中点，∴BD⊥AC，又AD＝3，∴由勾股定理得BD＝AB2－AD2＝[规律方法]解决三角形中线问题的常用方法(1)利用角互补及余弦定理求解；(2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程；(3)利用向量法求解.对点练1.(2025·河北秦皇岛一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bcsinC＝sinB＋(1)求B；(2)若△ABC的面积为32，b＝2，求AC边上的中线长解：(1)已知3bcsinC＝sin(B＋π2)根据诱导公式，可得sin(B＋π2)＝cosB，则原式变为3bcsinC＝cosB由正弦定理可得b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入上式可得3×2RsinB2RsinC×sinC＝cosB＋1，化简得3sin将等式变形为3sinB－cosB＝1，根据辅助角公式可得2(32·sinB－12cosB)＝即2sin(B－π6)＝1，所以sin(B－π6)＝因为0＜B＜π，所以－π6＜B－π6＜5π6，则B－π6＝π6(2)已知△ABC的面积为32，B＝π根据三角形面积公式S△ABC＝12acsinB，可得12acsinπ3即12ac×32＝32，解得ac由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，已知b＝2，B＝π3可得22＝a2＋c2－2×2×cosπ3即4＝a2＋c2－2，解得a2＋c2＝6.设AC中点为D，则BD＝12(BA＋BC)，两边平方可得BD2＝14(BA2＋可得BD2＝14(c2＋a2＋2accosB)＝14(6＋2×2×cosπ3)＝14(6＋所以｜BD｜＝2，即AC边上的中线长为2.重点2三角形的高线1.h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝1a∶1b∶1c＝1sinA2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度.3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高.解：(1)∵A＋B＝3C，∴π－C＝3C，即C＝π4又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinA＝3cosA，即tanA＝3，所以0＜A＜π2∴sinA＝310＝3(2)由(1)知，cosA＝110＝10由sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝22(31010＋由正弦定理csinC＝bsinB，可得b＝5∴12AB·h＝12AB·AC·sin∴h＝b·sinA＝210×31010＝[规律方法]解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定理求得三角形的某些边和角来表示三角形的面积，然后解S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝12×边长×h对点练2.(2025·河南周口二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3ab＝2sin(1)求B；(2)若b＝2，过点B作BD⊥AC，D为垂足，求BD的最大值.解：(1)由3ab＝2sinC＋π3及正弦定理，得3sinAsinB＝所以3sinA＝3sinBcosC＋sinBsinC，又sinA＝sinB＋则3sinBcosC＋3cosBsinC＝3sinBcosC＋sinBsinC，化简可得3cosBsinC＝sinBsinC，又C∈0，π，sinC≠所以3cosB＝sinB，所以tanB＝3，又B∈0，π，所以B＝(2)设BD＝h，由三角形的面积公式可得S△ABC＝12bh＝12acsinB，解得h＝3又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时，等号成立，又b＝2，所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立，故h＝34ac≤34×4＝3，即BD的最大值为重点3三角形的角平分线如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.1.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC＝BD2.角平分线长公式：AD＝2bc(2025·吉林长春二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且12c＝b－acosC，角A的平分线交BC于D，且BD＝2DC.(1)求角A；(2)若AC＝3，求AD的长.解：(1)由12c＝b－acosC和正弦定理，可得12sinC＝sinB－sinA·cos因sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，则12sinC＝sinA·cosC＋sinC·cosA－sinA·cosC，即12·sinC＝sinC·cos因为sinC≠0，则得cosA＝12，因为0＜A＜π，则A＝π(2)如图，因为AD是∠CAB的平分线，则ABAC＝BDCD＝2，解得AB＝又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，则12·AB·AC·sinπ3＝12·AB·AD·sinπ6＋12·AC·即6×3×32＝6·AD·12＋3·AD·12，解得AD＝[反思感悟]解决与三角形的角平分线有关问题的方法(1)利用角平分线定理、找边之间的关系；(2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为大三角形的面积求解.对点练3.(2025·贵州六盘水一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a－c＝2bcosC.(1)求角B的大小；(2)若bsinA＝3，点D是边AC上的一点，BD平分∠ABC，且BD＝2，求△ABC的面积.解：(1)由余弦定理得2a－c＝2b·a2整理可得a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝a2+c又B∈0，π，∴B＝(2)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB得asinB＝bsinA＝3，∴a＝∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝π6，又BD＝a＝2，∴∠BDC＝∠C＝5∴A＝π－π3＋5π12＝π4，∴b＝∴S△ABC＝12absinC＝12×2×6sinπ4＋π6＝6×(22×32[课下巩固检测练(十七)]三角形中的特征线(每题10分)1.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，A＝60°.(1)若2c－b＝2，求sinC；(2)若BC边上的高h＝1237，求△ABC解：(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得49＝b2＋c2－bc，联立2c－b＝2，解得c＝－3(舍)或c＝5，由正弦定理得asinA＝csinC，得7sin60°＝5sinC(2)由题得△ABC的面积S△ABC＝12ah＝12×7×1237＝63，∴12bcsinA＝3∴bc＝24.由余弦定理得49＝b2＋c2－bc，∴b2＋c2＝73，∴(b＋c)2＝73＋48＝121，∴b＋c＝11，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝18.2.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝7∶2∶1.(1)求角A的值；(2)若点D为BC的中点，求AD∶BC的值.解：(1)设c＝1，则a＝7，b＝2，利用余弦定理可得cosA＝b2+c2-又因为A∈0，π，所以A＝(2)设c＝1，则a＝7，b＝2，因为点D为BC的中点，所以AD＝12两边平方可得AD2＝14AB＋AC2，即4AD2＝AB2＋AC2＋2所以4AD2＝1＋4＋2×1×2×－12＝3，可得AD＝32，所以AD∶3.(2025·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝π3，a＝4(1)若BC边上的高AD＝23，求证：△ABC为等边三角形；(2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝263，求△ABC解：(1)证明：在△ABC中，A＝π3，a＝4由余弦定理得b2＋c2－2bccosA＝42，即b2＋c2－bc＝16①.又S△ABC＝12·｜BC｜·｜AD｜＝12·bcsinA，即12×4×23＝12·bc·32，故由①②得(b－c)2＋bc＝16，即(b－c)2＝0，故b＝c＝4＝a.所以△ABC为等边三角形.(2)在△ABC中，由S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，得12bcsin∠BAC＝12AM·c·sin∠BAM＋12AM·b·sin又直线AM为∠BAC的平分线，则∠BAM＝∠CAM＝12∠BAC＝π所以12bc×32＝12×263c×12＋12×263b×12，即又由余弦定理可得cos∠BAC＝b2+c2-a22bc，即b2由③④可知16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－22(b＋c)，解得b＋c＝42或b＋c＝－22(舍)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝42＋4.4.(2025·陕西西安一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π3，D为BC上一动点(1)若AD平分∠BAC，求证：ABAC＝BD(2)若D为BC上靠近B的三等分