《一元二次方程根的分布》课件

4.5.1一元二次方程根的分布2026/5/17函数的零点定义：函数y=f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点等价关系

对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。零点的求法代数法图象法实根分布问题

★一元二次方程1、当x为全体实数时的根（1）当时，方程有两个不相等的实数根（2）当时，方程有两个相等的实数根（3）当时，方程没有实数根

★一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴（4）端点值的符号。2、当x在某个范围内的实根分布一元二次方程的两个根为可用韦达定理表达式来书写条件也可一元二次方程的两个根为可用韦达定理表达式来书写条件也可可用韦达定理表达式来书写：也可f(0)<0ac<0（1）方程两根都大于k（k为常数）（2）方程两根都小于k（k为常数）为常数）为常数）为常数）为常数）课时小结：

紧紧以函数图像为中心，将方程的根用图像直观的画出来，或数形结合或等价转化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响。123456789101112A级必备知识基础练1.函数f(x)=x2-4x-12的零点是(

)A.(6,0) B.(-2,0),(6,0)C.-2和6 D.以上都不是C解析

令f(x)=0,即x2-4x-12=0,解得x=-2或x=6,故f(x)的零点是-2和6.1234567891011122.若函数f(x)=x2+(m-3)x+m的零点都在(0,+∞)内,则m的取值范围是(

)A.(0,1] B.(0,2) C.(-3,0) D.(-1,3)A1234567891011123.设函数f(x)=-log2x,则函数f(x)的零点所在的区间为(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)B解析

由题意得f(1)=1-0=1>0,f(2)=,所以f(1)f(2)<0.又因为函数是(0,+∞)上的连续的减函数,由零点存在定理得函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.1234567891011124.函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)内存在零点,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,-18) B.(5,+∞)C.(5,18) D.(-18,-5)D解析

因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)内存在零点,又函数f(x)在(2,4)内的图象连续不断,且为增函数,所以根据零点存在定理可知,只需满足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得-18<m<-5,所以实数m的取值范围是(-18,-5).故选D.1234567891011125.已知函数

则f(x)的零点个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3C1234567891011121234567891011126.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为

.

解析

当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.∴Δ=1+4a=0,即a=-.综上可知,a的值为0或-.1234567891011127.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为

.

2解析

令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象(图略),由图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.1234567891011128.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.解

因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0恒成立,123456789101112B级关键能力提升练9.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为(

)A.(-4,0) B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-∞,-4]∪[0,+∞) D.[-4,0)D解析

由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.12345678910111210.(多选题)若二次函数y=x2-2x+m恰有一个零点落在(-1,0)内,则实数m的值可以是(

)A.-3 B.-2 C.-1 D.1BC解析

由x2-2x+m=0,得m=-x2+2x=-(x-1)2+1,函数y=-(x-1)2+1在(-1,0)内单调递增,当x∈(-1,0)时,m=-(x-1)2+1∈(-3,0),BC满足.故选BC.12345678910111211.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:则下列说法正确的是(

)A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点x123456y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88B解析

由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.虽然f(1)f(2)>