《n次方根与分数指数幂》课件

第4章

指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂

01什么是n次方根？02n次方根的性质03什么是根式？04什么是分数指数幂？05分数指数幂的性质？什么是n次方根？1什么是n次方根？1【温故】我们知道，如果，那么叫做的平方根.例如，±2就是4的

平方根.如果，那么叫做的立方根.如2就是8的立方根.

类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根.

一般地，如果，

其中，n＞1，且n∈N*正数有两个平方根，一个算术平方根；0有一个平方根，一个算术平方根；负数没有平方根.那么叫做的n次方根，n次方根的性质2n次方根的性质2【1】当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.

这时，a的n次方根用符号表示.例如

【2】当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方

根用表示，负的n次方根用表示.两者也可以合并成.

例如

【3】负数没有偶次方根.【4】0的任何次方根都是0.记作：

因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.什么是根式？3什么是根式？3【定义】式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

根指数被开方数

根据n次方根的定义，可得：，比如：

【1】一般读作“n次根号a”

【2】当a＜0且n为偶数时，在实数范围

内没有意义.【3】当

有意义时，是一个实数，且

它的n次方等于a.

什么是根式？3【探究】表示的n次方根，

一定成立吗？

【结论】①当n为奇数时，

②当n为偶数时，

是实数的n次方根，恒有意义，不受

的正负限制.但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定等于，当n为奇数时，；当n为偶数时，

是实数的n次方，在有意义的前提下，实数的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于.

什么是根式？3(1)(2)(3)(4)【1】求下列各式的值.【解】(1)(2)

(3)(4)

什么是分数指数幂？4什么是分数指数幂？4【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道

，也就是说，当根式的被开方数(看

成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.

【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为

分数指数幂的形式呢？【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把写成下列形式：

我们希望整数指数幂的运算性质，如：，对分数指数幂同样适用.

什么是分数指数幂？4【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.

我们规定，

例如，

我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.什么是分数指数幂？4不可以.显然不是半个相乘，它的实质是根式的另一种写法，如.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同【问题1】可以理解为个相乘吗？

【问题2】分数指数能约分吗？不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了，而在实数范围内无意义.

分数指数幂的运算性质5分数指数幂的运算性质5

时运算法则不一定成立.研究的一般性要求：

，此时法则一定成立.

分数指数幂的运算性质5(1)(2)【1】求下列各式的值.【解】(1)

(2)

分数指数幂的运算性质5(1)(2)【2】求用分数指数幂表示下列式子().【解】(1)(2)

分数指数幂的运算性质5【3】计算下式的值.【解】

题①

题②

题③

由图像可知最小值为41234567891011A级必备知识基础练1.下列运算正确的是(

)A.a2·a3=a6 B.(3a)3=9a3C.=a D.(-2a2)3=-8a6D1234567891011A12345678910113.已知x2+x-2=3,则x+x-1的值为(

)C解析

由(x+x-1)2=x2+x-2+2=5,可得x+x-1=±.故选C.1234567891011D12345678910115.若

=1-2a,则a的取值范围是

.

12345678910116.若α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=

,(2α)β=

.

12345678910117.求值:1234567891011B级关键能力提升练8.已知正数x满足,则x2+x-2=(

)A.6 B.7 C.8 D.9B1234567891011B1234