高中数学《幂函数》课件

第3章

函数的概念与性质3.3幂函数01幂函数的概念02幂函数的特征03幂函数的图像04幂函数的性质05幂函数奇偶性的判断方法06幂函数增减性的证明幂函数的概念1幂函数的概念1【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付

的钱数P=t元，这里P是t的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c=，这里c是S的函数；(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度v=km/s，这里v是t的函数；【以上各个函数有什么共同的特征？】可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如的函数.

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

幂函数的概念1【1】在函数①②③④

⑤⑥中，是幂函数的是（）【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数.

选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项

选项④同理.

①⑤⑥幂函数的特征2幂函数的特征2【1】的系数为1

【2】的底数为自变量

【3】的指数为常数

只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如等的函数不是幂函数.

判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式.反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式.在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.

幂函数的特征2【1】已知幂函数的图像经过点，求这个函数的表达式.

【解】由题意设函数的表达式为

把点代入，得：

即，所以

所以这个函数的表达式为

和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.幂函数的图像3幂函数的图像3【说明】对于幂函数，我们只研究时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：

【总结】①只有时图像才是直线；

②图像一定会出现在第一象限，

一定不会出现在第四象限；③图像一定经过(1,1)这个定点；④第一象限内由上到下递减.

幂函数的图像3【说明】对于幂函数，我们只研究时图像的性质.

在同一坐标系中画出函数

的图像：

【总结】⑤时，图像在定义域内上升；⑥时，图像在第一象限下降；⑦只有时，图像才与坐标轴

相交，且交点一定为原点；⑧时，图像是y=1这条直线.

幂函数的性质4幂函数的性质4

奇函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数增函数增函数增函数

幂函数的性质4【1】求幂函数的定义域并讨论其奇偶性和单调性.【解】因为，，又为

两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以

为正奇数，所以函数的定义域为R.

由为正奇数，得

，所以为增函数.

因为，所以是正的奇次方根，所以

在定义域内为增函数.

幂函数的性质4在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关图像过点(0，0)和点(1，1)图像过点(1，1)在(0，+∞)上是增函数在(0，+∞)上是减函数在第一象限，当0＜a＜1时，图像上凸；当a＞1时，图像下凹在第一象限，图像都下凹与a的取值有关幂函数的性质4【2】利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.【解】设，则在R上为增函数.比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.

∵-1.5＜-1.4，∴(-1.5)3＜(-1.4)3

(-1.5)3和(-1.4)3

5

5

奇函数偶函数

奇函数偶函数非奇非偶函数

幂函数增减性的证明6幂函数增减性的证明6【例题】证明幂函数是增函数.

【证明】函数的定义域是[0，+∞).

因为，，所以

即幂函数是增函数.

题①已知幂函数的图像经过点(9,3)，求这个幂函数的解析式.

因为图像经过点(9,3)，

题②

题③

题④

题⑤

题⑥下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.题⑥下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.12345678910A级必备知识基础练1.下列函数是奇函数的是(

)D解析

先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.123456789102.函数

的图象关于(

)A.x轴对称

B.y轴对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称B123456789103.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数C解析

∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.123456789104.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(

)A.-1 B.1 C.-3 D.3C解析

∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.∵y=g(x)是偶函数,∴g(-2)=f(-2)+2=g(2)=-1,∴f(-2)=-3.故选C.123456789105.已知函数f(x)=x3+ax2-3x+b是定义在R上的奇函数,则a+b=

.

0解析

由题意得f(-x)+f(x)=(-x)3+a(-x)2-3(-x)+b+x3+ax2-3x+b=0,即2ax2+2b=0恒成立,则a=b=0,即a+b=0.123456789106.已知函数

为奇函数.(1)求f(2)和实数a的值;(2)求方程f(x)=f(2)的解.解

(1)设x>0,则-x<0.因为x≤0时,f(x)=-x2-4x,则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x,所以f(x)=x2-4x=x2+ax,所以a=-4,则f(2)=-4.1234567891012345678910B级关键能力提升练7.下列说法中,正确的是(

)A.偶函数的图象一定与y轴相交B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈RD.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数B解析

y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0,故B正确;若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.12345678910123456789108.

已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=(

)A.2 B.-1 C.2或-1 D.2或1C解析

∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0,∴f(x)+f(-x)=2x2,而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.123456789109.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=

.

-26解析

令