2025年甘肃数学高起专真题及答案

2025年甘肃数学高起专练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在中间，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.1800种

C.360种

D.420种

答案：A

解析：甲站在中间，其余六人排列，共有6!种排法，即720种。但甲可以在中间两个位置中的任意一个，因此总共有720×2=1440种。但这里计算错误，实际上甲固定在中间一个位置，其余六人排列，共有6!种排法，即720种。故正确答案为A。

2.已知函数f(x)=x²4x+c在区间[1,3]上有两个不同的零点，则实数c的取值范围是（）

A.[5,1]

B.[3,5]

C.[5,5]

D.[3,3]

答案：C

解析：函数f(x)在区间[1,3]上有两个不同的零点，说明f(x)在该区间内有两个不同的根。因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以顶点的y值必须小于0，即f(2)=48+c<0，解得c>4。同时，f(1)和f(3)的值必须大于等于0，即f(1)=1+4+c≥0，f(3)=912+c≥0。解得c≥5和c≥3，因此c的取值范围是[5,5]。故正确答案为C。

3.若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹方程是（）

A.x=0

B.y=0

C.x+y=1

D.xy=1

答案：B

解析：|z1|=|z+1|表示复数z到点(1,0)和(1,0)的距离相等，即z在复平面内对应的点在y轴上。因此，轨迹方程是y=0。故正确答案为B。

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，S10=100，则该数列的公差d为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2[2a1+(n1)d]，得S5=5/2[2a1+4d]=25，S10=10/2[2a1+9d]=100。解这两个方程组，得d=2。故正确答案为A。

5.一个袋子里有红球和白球共20个，其中红球有8个，白球有12个。现在从袋子里随机取出3个球，则取出至少一个红球的概率是（）

A.7/19

B.12/19

C.3/4

D.1/2

答案：C

解析：取出至少一个红球的概率等于1减去没有取出红球的概率。没有取出红球的概率是从12个白球中取出3个球的组合数除以从20个球中取出3个球的组合数，即C(12,3)/C(20,3)。计算得C(12,3)=220，C(20,3)=1140，所以没有取出红球的概率为220/1140=1/5。因此，取出至少一个红球的概率为11/5=4/5=3/4。故正确答案为C。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数g(x)=x²2x+k在区间[0,3]上有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________。

答案：[3,6]

解析：函数g(x)在区间[0,3]上有两个不同的零点，说明g(x)在该区间内有两个不同的根。因为g(x)是一个开口向上的抛物线，所以顶点的y值必须小于0，即g(1)=12+k<0，解得k<1。同时，g(0)和g(3)的值必须大于等于0，即g(0)=k≥0，g(3)=96+k≥0。解得k≥0和k≥3，因此k的取值范围是[3,6]。

7.若函数f(x)=x²2ax+a²+1在区间(∞,1]上单调递增，则实数a的取值范围是________。

答案：a≤1

解析：函数f(x)的导数为f'(x)=2x2a。因为f(x)在区间(∞,1]上单调递增，所以f'(x)在该区间上非负，即2x2a≥0。在x=1时，22a≥0，解得a≤1。

8.若等比数列{an}的首项为3，公比为2，则该数列的第5项是________。

答案：48

解析：等比数列的通项公式为an=a1q^(n1)，其中a1为首项，q为公比。所以第5项a5=32^(51)=32^4=316=48。

9.在三角形ABC中，a=8,b=10,sinA=3/5，则三角形ABC的面积S是________。

答案：12

解析：由正弦定理得sinB=bsinA/a=103/5/8=3/4，所以sinB=3/5。因为sinA和sinB都小于1，所以角A和角B都是锐角。由余弦定理得cosB=4/5，所以sinC=sin(180°AB)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3/54/5+4/53/5=24/25。三角形ABC的面积S=1/2absinC=1/281024/25=12。

10.若复数z=3+4i，则|z|的值是________。

答案：5

解析：复数的模|z|是复数的实部和虚部的平方和的平方根，即|z|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。

答案：单调递增区间为[2,+∞)，单调递减区间为(∞,2)。

解析：函数f(x)的导数为f'(x)=2x4。当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。解不等式2x4>0得x>2，所以f(x)在区间[2,+∞)上单调递增；解不等式2x4<0得x<2，所以f(x)在区间(∞,2)上单调递减。

12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=16，S8=36，求该数列的首项a1和公差d。

答案：a1=2，d=1。

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2[2a1+(n1)d]，得S4=4/2[2a1+3d]=16，S8=8/2[2a1+7d]=36。解这两个方程组，得a1=2，d=1。

13.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5,b=7,sinA=4/5，求sinB和sinC的值。

答案：sinB=12/13，sinC=16/65。

解析：由正弦定理得sinB=bsinA/