三年级奥数教程第7讲等差数列

小朋友们，我们的数学世界里，数字常常会排着整齐的队伍出现。有时候，它们按照一定的规矩一个个增加，有时候又按照一定的规矩一个个减少。今天我们要认识的，就是这样一种非常有规律的数列朋友——等差数列。学会了它，你就能轻松解决很多看起来很复杂的数数和求和问题啦！一、什么是等差数列？我们先来看几个例子，看看这些数列有什么共同的特点：数列一：1，2，3，4，5，6，7……数列二：3，6，9，12，15……数列三：10，8，6，4，2……仔细观察一下，是不是发现了什么规律？在数列一中，后一个数都比前一个数多1。在数列二中，后一个数都比前一个数多3。在数列三中，后一个数都比前一个数少2（或者说多-2）。像这样，从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个固定不变的数，这样的数列就叫做“等差数列”。这个固定不变的差，我们给它起个名字，叫做“公差”。认识等差数列的“家庭成员”为了更好地和等差数列打交道，我们先来认识一下它的几个重要“家庭成员”：1.首项：数列中的第一个数，通常用字母“a₁”（读作a一）表示。比如数列一中的“1”，数列二中的“3”。2.末项：数列中的最后一个数，通常用字母“aₙ”（读作an）表示。如果数列很长，我们需要找到它的最后一项是多少。3.项数：数列中一共有多少个数，通常用字母“n”表示。比如数列一如果写到7，那项数就是7。4.公差：刚才我们已经认识了，就是相邻两个数之间相差的那个固定不变的数，通常用字母“d”表示。注意哦，公差可以是正数（越来越大），也可以是负数（越来越小）。二、等差数列的奥秘——三个重要公式掌握了等差数列的基本概念，接下来我们就要学习如何运用它们来解决问题了。这里有三个非常重要的“秘密武器”，也就是等差数列的常用公式。秘密武器一：求第n项（末项）——这个数列的第几个数是多少？有时候，我们会遇到这样的问题：一个等差数列，首项是2，公差是3，请问它的第5项是多少？第8项呢？我们不能一项一项地数到第5项或第8项，尤其是当项数很多的时候。这时候，我们就需要一个公式来帮忙。我们来想想：第1项（首项）：a₁=2第2项：比第1项多1个公差，就是a₁+d=2+3=5第3项：比第1项多2个公差，就是a₁+d+d=a₁+2d=2+3×2=8第4项：比第1项多3个公差，就是a₁+3d=2+3×3=11……那么，第n项呢？是不是比第1项多了（n-1）个公差？对啦！所以，求第n项的公式就是：第n项=首项+(项数-1)×公差用字母表示就是：aₙ=a₁+(n-1)×d例题1：一个等差数列，首项是5，公差是4，请问它的第6项是多少？思路：这里a₁=5，d=4，n=6。根据公式：a₆=5+(6-1)×4=5+5×4=5+20=25。所以，第6项是25。你可以自己验证一下哦！秘密武器二：求项数——这个数列一共有多少个数？还有的时候，题目会告诉我们一个等差数列的首项、末项和公差，问我们这个数列一共有多少项。比如：一个等差数列，首项是1，末项是19，公差是2，这个数列有多少项？我们同样可以通过分析找到规律。由秘密武器一的公式aₙ=a₁+(n-1)×d，我们可以反过来求n。把公式变形一下：aₙ-a₁=(n-1)×d(n-1)=(aₙ-a₁)÷dn=(aₙ-a₁)÷d+1所以，求项数的公式就是：项数=(末项-首项)÷公差+1用字母表示就是：n=(aₙ-a₁)÷d+1例题2：一个等差数列，首项是3，末项是27，公差是4，这个数列共有多少项？思路：这里a₁=3，aₙ=27，d=4。n=(27-3)÷4+1=24÷4+1=6+1=7。所以，这个数列共有7项。你也可以写出来数一数验证一下：3,7,11,15,19,23,27。正好7项！秘密武器三：求和——这个数列所有数加起来是多少？最常见的问题，就是求一个等差数列中所有数的和。比如：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？我们一个一个加当然可以得到答案，但如果是1加到100呢？那就太麻烦了！这时候，等差数列的求和公式就派上大用场了。伟大的数学家高斯小时候就巧妙地解决了这个问题。他发现，1+10=11，2+9=11，3+8=11，……，5+6=11。一共有5对这样的数，所以总和就是11×5=55。这个方法叫做“配对求和”。它的核心思想就是：等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2为什么要除以2呢？因为我们把每两个数配成了一对，所以总共有“项数÷2”对（如果项数是偶数），或者有“(项数-1)÷2”对还多一个中间数（如果项数是奇数）。但无论项数是奇是偶，“(首项+末项)×项数÷2”这个公式都是成立的。用字母表示求和公式：和S=(a₁+aₙ)×n÷2例题3：计算1+3+5+7+9+11的和。思路：这是一个等差数列，a₁=1，aₙ=11。项数n是多少呢？我们可以用秘密武器二算一下：(11-1)÷2+1=10÷2+1=5+1=6项。然后用求和公式：S=(1+11)×6÷2=12×6÷2=72÷2=36。结果是36，你可以自己加一遍看看对不对。三、学以致用——解决实际问题学习了这三个秘密武器，我们就可以解决很多关于等差数列的问题了。下面我们来看几个例子。例1：小明读一本故事书，第一天读了10页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了40页正好读完。请问小明一共读了多少天？这本书一共有多少页？分析与解答：这是一个典型的等差数列问题。每天读的页数依次是：10，13，16，……，40。首项a₁=10（第一天读的），末项aₙ=40（最后一天读的），公差d=3（每天比前一天多读的）。第一问：一共读了多少天？这其实就是求项数n。n=(aₙ-a₁)÷d+1=(40-10)÷3+1=30÷3+1=10+1=11（天）。第二问：这本书一共有多少页？这就是求这个等差数列的和S。S=(a₁+aₙ)×n÷2=(10+40)×11÷2=50×11÷2=550÷2=275（页）。答：小明一共读了11天，这本书一共有275页。例2：有一堆粗细均匀的圆木，堆成了一个梯形的形状。最上面一层有3根，最下面一层有8根，每下面一层都比上面一层多1根。这堆圆木一共有多少根？分析与解答：圆木的根数，从上到下依次是：3，4，5，6，7，8。这也是一个等差数列。首项a₁=3，末项aₙ=8，公差d=1。先求项数n：n=(8-3)÷1+1=5+1=6（层）。再求和S：S=(3+8)×6÷2=11×6÷2=66÷2=33（根）。答：这堆圆木一共有33根。四、总结与思考今天我们一起走进了等差数列的奇妙世界。我们认识了什么是等差数列，以及它的“家庭成员”——首项、末项、项数和公差。更重要的是，我们学会了三个非常实用的公式：1.求第n项（末项）：aₙ=a₁+(n-1)×d2.求项数：n=(aₙ-a₁)÷d+13.求和：S=(a₁+aₙ)×n÷2这些公式就像三把金钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。小朋友们在运用这些公式的时候，一定要先看清楚题目告诉了我们哪些条件，求的是什么，然后再选择合适的公式进行计算。计算的时候也要细心哦！生活中还有很多等差数列的例子，比如钟表几点敲几下，一个星期有7天，这些都和我们今天学的知识有关。希望小朋友们能带着一双数学的眼睛去观察生活，你会发现更多有趣的数学规律！好了，今天的内容就到这里。课后大家要多做练习，巩固今天学到的知识，这样才能真正把等差数列变成你的好朋友！---小试牛刀（练习题）：1.一个等差数列，