湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三下学期第二次模拟测试数学试题

届高三下学期第二次模拟测试数学试题时间：分钟满分：分85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，再根据并集含义即可得到答案.【详解】，则.故选：D.2.已知复数z满足，则z的虚部为（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】首先，再根据复数的模和除法运算即可求解.【详解】由条件可知，所以的虚部为1.故选：C3.设函数，则（）A.8B.9C.5D.4【答案】B第1页/共20页

【解析】【分析】根据题意，先求得，结合，代入计算，即可求解.【详解】由函数，可得，所以.故选：B.4.若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】将5个数从小到大排序为：0，1，5，5，8.因为，要使第百分位数为5，进行如下讨论：如果为整数，则需取数据中第个和第个的数的平均数，只可能，即.如果为非整数，则需取数据中将整数部分加1所在位置的数，所以得到或解得，综上可得.故选：C.5.21840这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前取为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】第2页/共20页

【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案.【详解】中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为，取到偶数的概率为，的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.设，，有；考虑递推关系：代入，，，当时，，为奇数的概率为，故.所以是以为首项，为公比的等比数列；所以，当时，，当时，.故选：A6.函数部分图象是（）A.B.C.D.第3页/共20页

【答案】A【解析】【分析】根据附近的函数值即可排除BC；根据的符号即可排除D.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，当且时，，故排除BC；又，故排除D.故选：A.7.已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可.【详解】设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知，则为平行四边形，则，即，因为，则，在中，由余弦定理可得，即，第4页/共20页

解得，所以椭圆的离心率为.故选：A.8.函数所有零点的和等于（）A.6B.7.5C.9D.12【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和.【详解】由解得，所以的定义域是.由两边平方并化简得，即，所以表示以为圆心，半径为的半圆.由得，的零点，也即与半圆的交点的横坐标，与半圆的图象都关于直线对称，画出与半圆的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称，所以的零点和为.故选：C第5页/共20页

36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】首先明确充要条件的定义：若是的充要条件，则（能推出，也能推出由已知的含义是且，逐一分析选项即可.【详解】选项A：若且，则，，是其中较大的数，一定大于这个较大的数，充分性成立；若，说明和都不为0（若其中一个为0，比如，则且，必要性成立；因此A是充要条件；选项B：若且，则，，故，充分性成立；若，则且，即且，必要性成立；因此B是充要条件；选项C：若且，则，分式有意义且分子，故分式≠0，充分性成立；第6页/共20页

若，则（分母不为0）且，因此且，必要性成立；因此C是充要条件；选项D：存在反例：取，，此时，满足，但，故，不满足“”，所以充分性不成立，因此D不是“”的充要条件.综上，符合条件的选项是ABC.故选：ABC.10.设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二项分布的期望与方差公式可判定A，利用随机变量的期望与方差公式可判定BC分布的对称性可判定D.【详解】依据二项分布相关公式，．依据正态分布定义，．故而由期望可加性，A选项正确．由随机变量数学期望和方差的相关性质，，，因此B选项正确，C选项错误．第7页/共20页

由正态分布的相关性质，有，而，所以，D选项正确．故选：ABD过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（）A.若直线的斜率存在，则的取值范围为B.当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6C.当时，的面积为12D.当时，【答案】ABD【解析】A经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确．【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，第8页/共20页

对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为，所以B正确；对于C中，由，得，即，所以，设，则，因为，所以，整理得，解得或，，所以的面积，所以C错误；对于D项，在直角中，，所以，所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.设，则______.【答案】【解析】【分析】由并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可.【详解】由，则展开式通项为且，当，则，故.第9页/共20页

故答案为：13.将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】首先根据两直线的位置关系求的关系式，再根据古典概型概率公式求和，最后根据点与圆的位置关系，列不等式，即可求解.【详解】若，则，即，且，则满足条件的为，所以；若两直线重合，则，则，所以不成立，所以两直线相交的概率,则，得.故答案为：14.实数满足的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】化简得到，由，由，求得，得到，转化为图象上的点到直线上一点的距离，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】由，第10页/共20页

因为，可得，所以，又由，可得，所以在上单调递增，又因为，则，则，表示函数图象上的点到直线上一点的距离，则最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离，设切点为，其中，由，可得，令，解得，可得，即切点为，可得切点为直线距离为，即的最小值是.故答案为：.四、解答题：本题共3小题，共分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.如图，在三棱柱中，，为上的点，且.（1）证明：平面；（2）若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求第11页/共20页

二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】，再通过线面平行的判定定理即可证明；（2）先证平面，再建立空间直角坐标系求出平面的法向量和平面的法向量，最后求解二面角的正弦值即可.【小问1详解】如图，连接交于点，连接，因为是平行四边形，故为的中点，又，故为的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】设的中点为，因为底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，连接，，则，又，且平面平面，平面，故平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.设，则由几何关系可知，，，，第12页/共20页

故，，.设平面的法向量为，平面的法向量为，则有及不妨取，，则，.故.故二面角的正弦值为.16.已知和为双曲线上两点.（1）求的离心率；（2）在上是否存在点，使得的面积为？若存在，求所有满足要求的点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2（2）存在，，，，.【解析】1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，结合离心率的计算公式，即可求解；（21垂直于不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式和点到直线的距离公式，列出方程求得的值，进而得到点的坐标；方法2：求得，且的方程为，根据题意，得到点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得或，联立方程组，进而求得点的坐标.【小问1详解】第13页/共20页

解：由点和为双曲线上两点，可得，解得，此时双曲线的方程为，所以双曲线的离心率.【小问2详解】解：方法1：假设存在满足条件的点，且设为直线，当垂直于轴时，，此时，满足题意；当不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则且，可得且，设，可得，所以，则，又因为到的距离为，所以的面积为，令，可得或，解得或或，因为，故当时，，又因为，可得，故；同理可得，当时，；当时，，第14页/共20页

综上，所有满足要求的点的坐标为，，，.方法2：因为点和，可得，且直线的方程为，假设存在满足条件的点，设点到直线的距离为，若的面积为3，则，解得，设过且平行于直线的直线为，则，解得或，当时，可得，联立方程组，解得，，代入的方程，可得或；当时，可得，联立方程组，解得，，代入的方程，可得或，综上可得，所有满足要求的点的坐标为，，，.17.已知函数.（1）讨论在的单调性；（2）证明：当时，；第15页/共20页

（3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：.【答案】（1）在单调递增（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】1）利用函数导数判断函数的单调性；（2）设，结合导数判断函数的单调性证得不等式；（3）根据对称性结合函数的导数证得函数的不等关系；【小问1详解】根据题意有.当时，；当时，，，故，所以在单调递增.【小问2详解】设，则，设，则，当时，，单调递增，故，故单调递增，故当时，，即.【小问3详解】因为点关于直线的对称点为，且在上，故.第16页/共20页

由（1）可知在单调递增，且由（2）可知，故.由可知，等价于.设，则.设，则当时，，故当时，单调递增，，所以当时，，单调递增.又由（1）及（2）可知，，所以，即.综上，.18.500200200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3的价格成交的概率为0.4的价格成交的概率为0.3．（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率．（2400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．（3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种100第17页/共20页

试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．【答案】（1）0.7（2）方案二更优惠，理由见解析（3）应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析【解析】1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解；（2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断；（3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策.【小问1详解】买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元;若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为；【小问2详解】买方乙要在该厂购买400箱这种零件，若乙选择方案一，则成交的金额为万