湖南省永州市2025-2026学年上学期高一期末考试数学试题

年下期高一期末考试数学注意事项：本试卷共分，考试时量分钟.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.考试结束后，只交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】因为，所以，故选：B.2.命题，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用命题否定的规则求解即可.【详解】因为，所以.故选：C3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）第1页/共19页

A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数、一次函数、指数函数和反比例函数的单调性即可直接分析判断得解.【详解】因为函数在区间上单调递增，函数为增函数，所以函数在区间上单调递增，故A正确；函数、在区间上均单调递减，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故BCD错误.故选：A4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，诱导公式及三角函数值符号比较大小.【详解】依题意，，，所以.故选：D5.某企业初始年利润为1，每年以的增长率递增，至少经过（）年后年利润会翻一番？（参考数据：）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】第2页/共19页

【分析】根据题意列指数方程，化为对数求解.【详解】由题，，即，两边同时取以为底的对数，得，由换底公式，因为年数为整数，当时，，利润尚未翻一番，故至少经过年后利润会翻一番，故选：B.6.将函数的图象经过平移得到为的图象在轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，解得，再根据正弦函数的平移即可求解．【详解】当时，，且，又为的图象在轴右侧的首条对称轴，，解得，，，故可以向左平移个单位得到，也可以向右平移个单位得到．故选：C．7.已知，非空集合，，若，则的最小值是（）第3页/共19页

A.B.2C.4D.【答案】C【解析】【分析】利用集合相等，求得的关系式，利用基本不等式可求答案.【详解】设，则，因为，所以,即；因为，所以，即.因为，当且仅当时，取得最小值.故选：C8.已知，则（）A.2026B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知等式令，则可得；令，则可得，再令即可得到，即可得答案.【详解】对于，令，则可得；对于，令，则可得，即，即，令，即，则，即得，则，此时即为，故可得，则，第4页/共19页

故选：B二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】分析】利用作差法及特殊值法，逐一判断即可.【详解】对于A：由题可知，，故，故A正确；对于B：，由题可知，，故，，则，即，故B正确；对于C：若，此时，故C错误；对于D：，由题可知，，故，则，即，故D正确.故选：ABD.10.函数，则（）A.函数的最小正周期B.函数的图象关于点对称C.函数在区间的值域为D.若，则或第5页/共19页

【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数恒等变换化简，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即得.【详解】，对于A:，A正确；对于B：当时，，所以函数的图象不关于点对称，B错误；对于C：因为，所以，当，即时，取得最小值,当，即时，取得最大值，所以在区间的值域为，C正确；对于D：因为，所以或，解得或，D错误；故选：AC双曲函数是数学中一类重要函数，在工程技术应用等领域得到广泛应用．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，当时，，则（）A.双曲正切函数为奇函数第6页/共19页

B.对任意实数，不等式恒成立，则C.若，则D.存在实数，使得函数有3个零点【答案】ACD【解析】【分析】根据函数奇偶性判断A即可；先确定双曲正弦函数的奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性得到不等式，结合二次型函数恒成立的等价条件求解即可判断B；，结合可得即可判断C单解得情况，再因式分解解方程得或，最后由零点个数得到的范围即可判断D．【详解】对于A，，，双曲正切函数为奇函数，故A正确；对于B，，，为奇函数，又因为为增函数，为减函数，所以为上的增函数，，则，，即在上恒成立，①时，成立，符合题意；②时，，解得；综上，，故B错误；第7页/共19页

对于C，，当时，由整理可得，即，故，故C正确；对于D，令，当且仅当时取得，且当时，单调递减，当时，单调递增，，时，无实数解；时，有一个实数根；，有两个实数根；又，，则或，又函数有3个零点，且当时，即，解得，所以，即有两个实数根，则，解得，故D正确．故选：ACD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知幂函数是偶函数，则______.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及偶函数特性求出.第8页/共19页

【详解】幂函数是偶函数，则，解得或，当时，是偶函数；而当时，是奇函数，不符合题意，所以.故答案为：213.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】对含的齐次式化简后解方程即可.【详解】由知.对等式左边分子、分母同时除以得，解得.故答案为：.14.已知函数有个零点，则__________.【答案】或【解析】【分析】根据绝对值，先因式分解，得到，分类讨论含绝对值的方程即可通过分析方程根的个数来确定，进而求出结果.【详解】有4个不同的零点即为有4个不同的实数根.不妨设，由①，可得或，第9页/共19页

当时，为，可得或，当时，为，则，若，即，方程为，得，此时方程①共有4个不同的零点，故.若，即，若，则时的两根不符合，舍去，又对于时，，最多有两根，加上，不符合题意；若，对于时，，解得或，加上，方程①共有三个根，不符合题意；若，满足时的根，对于时，有两根，一正一负，其中负根为，因为，故，故负根舍去，此时加上，此时方程①最多3根，故不符合题意；若，时只有一根，对于时，，或，加上，此时方程①有4个不同零点，符合题意，故，若，时有两根或，加上，已有三个根，所以时，有两根，且两根相等，所以又两根之和为，故其根为，所以，这与矛盾，舍；综上，或.第10页/共19页

故答案为：或四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知不等式的解集为，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）解不等式可得集合代入集合可得集合，依据补集与交集的运算即可求得；（2）由可得集合是集合的子集，分情况讨论，当集合时，可解的取值范围是，当时，可解的取值范围是，综上即可求得所有满足条件的的取值范围.【小问1详解】当时，有集合，解，得，则集合，故，则有【小问2详解】若，则有集合是集合的子集，由（1）得集合，①当集合时，有，解得，满足题意，此时的取值范围是，②当集合时，有，解得，因为集合是集合的子集，则有，解得，此时的取值范围是，第11页/共19页

综上，的取值范围是.16.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）7；（2）.【解析】1）利用同角公式求出，再利用差角的正切公式求解.（21）结合二倍角公式求出，利用平方关系求出，再利用和角的余弦公式求解.【小问1详解】由，得，所以.【小问2详解】由（1）得，由，得，所以.17.2025年湘超足球城市联赛中，永州队问鼎冠军，永州成功出圈.永州某企业利用此契机，并经过市场调万件与成本万元满足如下关系：时，产量为723万件.固定成本为1010元/第12页/共19页

品能全部售完，记该产品利润为（单位：万元）.（1）求利润关于的关系式；（2）当为多少时，该产品的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当时，该产品的利润最大，最大利润为240万元.【解析】1中、=收入间内的利润表达式；（2）分别分析不同区间内利润函数的单调性，进而求出最大值，最后比较两个区间内的最大值，得到整个定义域内的最大利润.【小问1详解】因为当时，产量为7万件；当时，产量为23万件，将其代入可得方程组：，解得，，所以，已知固定成本为10万元，产品售价为10元/件，根据利润=收入成本，可得当时：，当时：，因此；【小问2详解】第13页/共19页

当时，，函数图象开口向上，对称轴为，因为对称轴，所以在上单调递增，则当时，取得最大值(万元)，当时，，令，则，，代入得，由基本不等式，，当且仅当，即，（）时取等号，所以，此时，因为，所以当时，该产品的利润最大，最大利润为240万元.18.已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称.（1）讨论的零点个数；（2）对任意，存在，使得恒成立，求实数的取值范围；（3）已知两点在函数的图象上，其横坐标分别为，两点在函数的图象上，两点关于直线对称，两点关于直线为正方形，请说明理由.注：第14页/共19页

【答案】（1）1（2）（3）存在，理由见解析【解析】1）判断单调性，结合零点存在定理可判断零点个数；（2）利用单调性等价转化为，分别求解左右两个式子的值域，根据值域的包含关系可得答案；（3的关系，结合两者关系可判断是否存在四边形为正方形.【小问1详解】因为，，所以，因为均为增函数，所以也是增函数，因为，所以仅有一个零点.【小问2详解】因为为增函数，所以，即，即，令，因为，则，因为，所以.因为，所以，因为，所以，由题意可得，即，解得，所以实数的取值范围是.第15页/共19页

【小问3详解】由题意，；，，假设存在四边形为正方形，则，由可得，即，所以；由可得，即有，因为，由图可知，所以，代入，得，令得，令，因为，所以在内有解，故存在四边形为正方形.19.对于定义域在区间的函数定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.第16页/共19页

（1）已知函数，求与的表达式；（2）已知函数，若与为同一函数，求的取值范围；（3）已知函数，对任意恒成立，求正整数的最小值.【答案】（1）（2）（3）1【解析】1）根据题中所给函数新定义，即可求得答案；（2）由题意可判断在上单调递减，结合余弦函数的单调性列不等式求解，即得答案；（3）令，将化为，结合正弦函数的性质可确定的表达式，从而可得的表达式，结合对任意恒成立，列不等式，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知函数，故，；【小问2详解】由于函数，若与为同一函数，则在上单调递减，因为若函数在某处递增，则