黑龙江省九师联盟2025-2026学年高三上学期1月联考试题数学

黑龙江省九师联盟校高三上学期1月联考数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B．或 C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若向量，，，则实数（

）A． B． C．0 D．4．已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定5．某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据，，，，，，，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是（

）A．平均分 B．极差 C．标准差 D．中位数6．将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则（

）A．441 B．361 C．121 D．1007．若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（

）A．1 B．0 C．－1 D．8．设函数，令，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，，则10．已知函数，则下列说法中正确的是（

）A． B．的极值都大于0C． D．若，则11．伽利略说：大自然这本书是用数学语言写成的.人们在自然界中发现了斐波那契数列，其中，，斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用.下列关于斐波那契数列的结论中，正确的有（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知，且，则的最小值为.13．碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量的函数关系可以是.14．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线与的右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标的取值范围是.四、解答题15．记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长.16．已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点.(1)求线段的长度；(2)已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积．17．如图，在正三棱台中，，.

(1)求正三棱台的体积；(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.18．已知函数，.(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若有2个极值点，求的取值范围；(3)若有2个零点，求的取值范围.19．某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛.(1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望；(2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率；(3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程.参考答案1．C【详解】因为，，所以.故选：C.2．D【详解】因为，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.3．B【详解】因为向量，，所以，由，得，.故选：B.4．A【详解】由题意知圆的圆心为，半径为，因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交.故选：A.5．D【详解】选项A：若7个数据为，原平均分为，去掉最高和最低分后平均分为，，平均分不一定相同，故A错误；选项B：若7个数据为，原极差为，去掉最高和最低分后极差为，，极差不一定相同，故B错误；选项C：若7个数据为，则原数据平均数为，标准差为，去掉最高和最低分后平均数为，标准差为，标准差不一定相同，故C错误；选项D：设，则原始数据的中位数为，，，，，的中位数也为，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是中位数，故D正确．故选：D．6．B【详解】由题意，数列的项是奇数，由数列的项是数列和数列的公共项，得数列的项为奇数的平方，即，如，，，所以.故选：B.7．A【详解】，则，由，得，因为的图象关于点对称，所以，，解得，，又，所以，.故选：A.8．C【详解】，的定义域为，，是偶函数，令，，当时，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，由是偶函数，得，再由对数换底公式和运算性质，得，，，，所以，所以，又在上单调递增，所以.故选：C.9．AC【详解】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理知A正确；对于B，除非加上，可以推出，其他情况容易举反例，故B错误；对于C，因为，过作平面，则易得，因为，所以，又，所以，故C正确；对于D，直线，相交时符合平面与平面平行的判定定理，否则结论不成立，故D错误.故选：AC.10．AC【详解】因为，所以，所以，故A正确；令得，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在处有极大值，在处有极小值，故B错误；因为在上单调递增，，所以，故C正确；当时，由幂函数的性质，知，因为在上单调递减，所以，故D错误.故选：AC.11．ACD【详解】因为，，所以，，，…，，，累加得，故A正确；因为，故B错误；因为，，…，，将以上各式相加，得，故C正确；因为，所以，故D正确。故选：ACD.12．6【详解】解：∵∴，（当且仅当，取“=”）故答案为：6.13．【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，那么死亡1年后生物体内碳14含量为，死亡2年后生物体内碳14含量为，死亡5730年后生物体内碳14含量为，所以，则.故答案为：14．【详解】设，，弦的中点为，由题意，得，则，设，联立方程得，所以且，，，因为直线和的右支交于两点，所以，解得，因为，，直线的方程为，令，得，又，所以，，即点的横坐标的取值范围是.故答案为：15．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，即.

因为，所以，，又已知，所以.（2）因为的面积为，所以，解得，

由余弦定理，得，所以，

所以，

所以的周长为.16．(1)8(2)【详解】（1）抛物线的焦点为，，直线的斜率为1，的方程为,设，，联立直线与抛物线，得，，，由抛物线的定义得，．（2）设，，，直线，的斜率分别为，，联立方程得，，，，，在上，，，，，，即直线，的斜率之积为．17．(1)；(2).【详解】（1）设上、下底面的中心分别为，，连接，，过点作底面的垂线，垂足为，则在上，是三棱台的高，

因为，都是正三角形，且，所以，，

由勾股定理，得，

所以正三棱台的体积.（2）如图，以为原点，为轴正方向，过作的平行线与交于点，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，，所以，，，，

所以，，.

设平面的法向量，则即取，得，即平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，，，所以.

所以的图象在处的切线方程为，即.（2）因为函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点，而，令，所以，

设，只需与的图象有2个交点，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，.

又时，且，所以当时，函数有2个极值点.（3），1不是的零点，令，则，所以，令，欲使函数有2个零点，只需直线与的图象有2个交点，，

当或时，，在和上单调递增；当或时，，在和上单调递减，且，的极大值为，的极小值为，

又当时，且，当且时，，当且时，，当时，，所以当或时，直线与的图象有2个交点，即有2个零点时，的取值范围是.19．(1)分布列见解析，(2)(3)组采用赛制二更有利于胜出，答案见解析【详解】（1）由题意知随机变量的取值可以为0，1，2