微专题：平行四边形中的折叠问题（八年级数学下册）

微专题：平行四边形中的折叠问题（八年级数学下册）

一、教学背景分析

（一）课标要求与教材地位

【核心】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在图形与几何领域强调，要引导学生通过观察、实验、类比、推理等数学活动，探索并证明图形的基本性质，理解图形之间的相互关系，发展空间观念、几何直观和推理能力。本微专题“平行四边形中的折叠问题”隶属于人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》，是在学生系统学习了平行四边形的定义、性质、判定以及三角形全等、勾股定理、轴对称等知识之后进行的综合性专题复习与提升。折叠问题作为一种动态几何问题，是将静态的图形与动态的变换相结合的完美载体，它不仅深度考查了学生对平行四边形（含矩形、菱形、正方形）基础知识的掌握程度，更集中体现了数形结合思想、方程思想、分类讨论思想和转化思想在几何问题中的应用。本专题内容处于承上启下的关键位置，既是对平行四边形核心性质的巩固与深化，又为学生后续学习更复杂的几何变换（如旋转、相似）奠定坚实的基础，具有极高的数学思维训练价值和中考应试指导意义。

（二）学情分析

【基础】授课对象为八年级学生。在此之前，学生已经初步掌握了平行四边形的概念及性质，能够进行简单的几何推理和计算，并对轴对称图形有了直观认识。然而，当“折叠”这一动态操作引入后，图形结构发生改变，点、线、角的位置关系和数量关系变得隐蔽而复杂，学生在面对此类问题时，往往表现出以下困难：一是无法准确理解折叠的数学本质，即轴对称变换，难以找出折叠前后不变的对应元素（对应边相等、对应角相等）；二是面对翻折后图形位置的多种可能性（如落点在对角线上、在边上、在形外等），缺乏分类讨论的意识和方法；三是不能灵活地将折叠问题转化为熟悉的模型，如构造等腰三角形、直角三角形，进而运用勾股定理或全等三角形建立方程求解。因此，本专题教学的核心任务就是引导学生拨开迷雾，洞察折叠的本质，通过系统的探究和变式训练，帮助学生掌握解决此类问题的通性通法。

二、教学任务分析

（一）教学目标

1.知识与技能目标：【核心】理解折叠问题的本质是轴对称变换，掌握折叠前后图形是全等的，对应点连线被折痕垂直平分等基本性质。能够熟练运用平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解决平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）中常见的折叠问题。能根据折叠方式的不同，对可能出现的多种情况进行分类讨论。

2.过程与方法目标：【重要】通过观察、操作（模拟折叠）、猜想、验证、推理等数学活动，经历从具体问题情境中抽象出几何模型的过程，体会数形结合思想（将几何关系用代数方程表示）、方程思想（设未知数列方程求解）、转化思想（将复杂图形转化为基本图形）和分类讨论思想在解决问题中的作用。

3.情感态度与价值观目标：在探究折叠问题的奥秘中，感受数学的奇妙与趣味，激发学习数学的兴趣和探索精神。通过小组合作与交流，培养学生严谨求实的科学态度和敢于质疑、善于反思的批判性思维，提升几何直观和逻辑推理的素养。

（二）教学重难点

4.教学重点：【高频考点】掌握折叠问题的本质——轴对称变换，抓住折叠前后“变”与“不变”的核心关系，即对应边相等、对应角相等。能准确识别折叠后形成的等腰三角形和直角三角形，并运用勾股定理或方程求解线段长度。

5.教学难点：【难点】【核心素养】当折叠方式不唯一或折叠后点的落点位置不确定时，如何引导学生进行严谨的分类讨论，并画出符合题意的所有可能图形，防止漏解或错解。将复杂的几何数量关系转化为简洁的方程模型，并正确求解。

三、教学实施过程（核心环节）

（一）溯源寻本——复习引入，揭示本质（约5分钟）

【基础】课堂伊始，教师不直接抛出难题，而是引导学生回顾两个最基本的问题：1.什么是一个图形沿着某条直线折叠？2.折叠前后，图形的形状和大小是否发生变化？通过学生口答和简单演示，师生共同提炼出折叠的数学本质——“轴对称变换”。教师明确强调：【核心】折叠即轴对称，折叠前后的两个图形是全等的。由此，引导学生关注折叠问题中最重要的两组等量关系：第一，对应线段长度相等；第二，对应角的度数相等。同时，教师可借助矩形纸片，演示折叠过程，让学生观察折痕与对应点连线的位置关系，引导学生发现折痕是连接对应点所成线段的垂直平分线这一重要性质。此环节旨在激活学生已有的知识储备，明确解决折叠问题的逻辑起点，为后续探究扫清概念障碍。

（二）模型建构——以矩形折叠为例，探究通法（约20分钟）

本环节是整堂课的核心，教师将从一个最具代表性的矩形折叠问题入手，引导学生层层深入，提炼出解决此类问题的通用模型。

【例题呈现】如图，将矩形ABCD的一边BC沿过点B的某条直线折叠，使点C恰好落在边AD上的点F处，折痕为BE。已知矩形的长AB=4，宽BC=5。你能求出哪些线段的长？

【教学实施】

1.自主探究，寻找等量：学生独立思考，在图形中标注已知数据。教师巡视，提示学生关注折叠带来的全等三角形。学生很快会发现，折叠的核心是△BCE与△BFE全等。

2.小组交流，揭示关系：学生分组讨论，由全等能推出哪些等量关系？师生共同归纳：①BC=BF=5（对应边相等）；②CE=FE（对应边相等）；③∠CBE=∠FBE（对应角相等）；④∠C=∠BFE=90°（对应角相等）。教师追问：由这些等量关系，我们还能进一步发现什么图形？引导学生观察，在Rt△ABF中，已知AB=4，BF=5，由勾股定理可求得AF=3。进而，矩形的对边相等，AD=BC=5，所以FD=AD-AF=5-3=2。

3.搭建桥梁，方程求解：此时，CE和FE长度未知，但它们是相等的。教师引导学生将目光聚焦在Rt△FDE或Rt△FCE上。在Rt△FDE中，FD=2，DE=CD-CE=4-CE。如果设CE=x，则FE=x，DE=4-x。在Rt△FDE中，由勾股定理得：FD²+DE²=FE²，即2²+(4-x)²=x²。这是一个关于x的一元一次方程，解得x=2.5。至此，所有可求的线段长度均已求出。

4.提炼总结，形成模型：【重要】教师带领学生回顾解题全过程，提炼出解决折叠问题的“三步曲”：第一步，定对应，找全等。明确折叠前后哪些点、哪些线段、哪些角是重合的，找到全等三角形。第二步，抓不变，求长度。利用全等的性质，将已知条件转化到可解的三角形（尤其是直角三角形）中，求出一些关键线段的长度。第三步，巧设元，用勾股。对于未知线段，大胆设未知数，利用勾股定理或相似（本专题暂不涉及）建立方程，化几何为代数，实现问题的最终解决。此模型的建立，为学生解决各类折叠问题提供了清晰的思维路径。

（三）变式深化——矩形中不同折叠方式的探究（约15分钟）

为巩固上述模型，并展现其应用范围，教师设计了两个变式练习，引导学生再次实践“三步曲”。

【变式一：折痕过顶点，点落形内】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形沿对角线AC折叠，点B落在点F处，CF交AD于点E。求线段CE的长度。

【教学实施】学生独立尝试后，小组内交流。此题的关键在于识别折叠后△ABC与△AFC全等，得到AF=AB=6，∠B=∠F=90°，且AC是折痕。进而，由平行线性质（AD∥BC）可得∠ACB=∠CAE，结合折叠后∠ACB=∠ACE，可推出∠CAE=∠ACE，故△AEC是等腰三角形，AE=CE。设CE=AE=x，则在Rt△DCE中，DE=8-x，DC=AB=6，由勾股定理得(8-x)²+6²=x²，解得x=6.25。教师强调，本题中通过角的关系推出等腰三角形，是解决问题的关键。

【变式二：折痕两端点分别在两边上】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内部一点F处，连接DF。若DF∥AE，求BE的长。

【教学实施】此题难度有所提升，综合性更强。学生需要先根据折叠得到AB=AF，∠BAE=∠FAE，BE=EF。结合DF∥AE，通过内错角、同位角等关系进行角度的转化，最终证明△ADF是等腰三角形或利用相似三角形对应边成比例建立方程。教师引导学生在复杂图形中分离出基本图形，如“A”型相似或“X”型相似，将几何关系转化为比例式，再结合折叠的等量关系设未知数求解。这个过程充分锻炼了学生的几何直观和推理能力。

（四）专题拓展——折叠中的分类讨论思想（约25分钟）

【难点突破】本环节聚焦折叠问题中因点、线位置不确定而引发的分类讨论，这是提升学生思维严密性的关键一步。

【核心例题】在一张矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8。现在进行如下操作：将矩形的一个顶点C折叠，使得点C落在矩形的一边（或一边所在直线）上，折痕为EF（点E、F分别在边AD、BC上，或边的延长线上）。求CE的长度。

【教学实施】这个问题的开放性极强，学生初次接触往往感到无从下手。教师通过以下步骤引导学生进行有序思考：

5.明晰要素，确定分类标准：问题中的核心条件是“点C落在矩形的一边上”。教师提问：“点C可能落在矩形的哪条边上？”学生自然想到可能落在AB边、AD边、CD边或BC边。但“将点C折叠，折痕EF两端分别在AD、BC上”这个隐含条件决定了点C的对应点（记为C‘）不能落在包含点C的边BC上（否则折痕端点超出范围），也不能落在与AD无关联的边上。通过分析，发现点C的落点只有两种合理情况：一是落在边AB上，二是落在边AD上。（若学生基础较好，可引导考虑落在CD边的极端情况）

6.分类作图，分而治之：教师指导学生根据分类画出两种可能的图形。

【情况一：落点C’在AB边上】如图，折叠后△CEF与△C‘EF全等。此时，CF=C’F，CE=C‘E。易知四边形BC’EC可能为等腰梯形或特殊四边形。关键在于利用已知边长求解。通常设CE=x，则DE=8-x（因为E在AD上），但C‘E=CE=x。在Rt△AEC’中，AE=6-？，AC‘=？不易直接得。更优方法：连接CC’，则折痕EF垂直平分CC‘。但求解需另寻途径。更常用方法是，将条件集中在Rt△DC’E或Rt△ABF中。在Rt△DC‘E中，DC’=AB=6，DE=8-x，EC‘=x，由勾股定理可得(8-x)²+6²=x²，解得x=6.25。但此时需检验C’是否在AB上，通过计算AC‘长度判断。

【情况二：落点C’在AD边上】如图，折叠后C‘在AD上。此时，由折叠知C’E=CE，且∠EC‘F=∠C=90°。连接CC’，则EF垂直平分CC‘。观察图形，四边形C’DCE是直角梯形。设CE=y，则C‘E=y，ED=8-y。在Rt△C’DE中，C‘D=BC=6，由勾股定理得(8-y)²+6²=y²，解得y=6.25。与情况一答案相同？引导学生发现区别，情况二中，点E的位置？需进一步判断C’的具体位置，若C‘与A重合，则需单独讨论。若C’在AD上不与A重合，则此解成立。

7.深度辨析，严谨验证：学生发现两种情况竟然解出同一个数值，产生了认知冲突。教师抓住时机，引导他们审视两种图形的几何特征是否真的相同。通过画图精确计算或几何画板演示，学生发现，当y=6.25时，两种情况下的点C’位置不同，但CE长度确实相同。进一步追问：“是否存在其他可能？”比如点C‘落在CD边上？引导学生画出图形，发现若C’在CD上，则折痕EF的端点E必须出现在AD的延长线上，这与“点E在边AD上”的前提矛盾，故排除。又如，当点C‘与A重合时，这是一种特殊情况，CE长度是多少？此时，折痕EF即为A、C连线的垂直平分线与矩形边的交点，需单独计算，得出另一组解。

8.归纳小结：通过此例，教师与学生共同总结分类讨论的一般步骤：第一，审题，找出导致分类的“关键词”（如“落在边上”“在直线上”“等腰三角形”等）；第二，根据点的位置、图形形状的差异，画出所有可能的图形；第三，分别在不同图形中，运用折叠性质和几何定理进行求解；第四，验证解的合理性，舍去不符合图形条件或题意的解。【高频考点】【难点】分类讨论思想是解决动态几何问题的“金钥匙”，也是中考压轴题考查的核心素养之一。

（五）巅峰挑战——菱形与正方形中的折叠问题（约15分钟）

本环节将问题背景从矩形拓展到一般平行四边形及特殊平行四边形（菱形、正方形），旨在进一步提升学生知识迁移和应用模型的能力。

【例题】如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=4，点E是边BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB‘E，当点B’落在菱形的一条对角线上时，求BE的长。

【教学实施】

9.审题分析：明确菱形对角线相互垂直且平分一组对角。∠A=120°，则∠B=60°，连接BD，则BD平分∠ABC，故∠ABD=30°。点B’的落点有两种情况：落在对角线AC上或落在对角线BD上。

10.分类讨论：

【情况一：B‘在AC上】由菱形性质，AC平分∠BAD。折叠后AB=AB’=4，且∠BAB‘被AE平分。B’在AC上，意味着AE即是对角线AC的一部分。由AB‘=AB，且∠B’AB=60°（因为AC平分120°角），可推出△ABB‘是等边三角形，故B’为AC中点？需进一步推理。此时，E点即为折痕AE与BC的交点。由折叠知BE=B’E。在△AB‘C中，利用等边三角形性质或解三角形，可求出B’E的长度，从而得到BE。

【情况二：B‘在BD上】连接B’D。由菱形性质，AC⊥BD。B‘在BD上，则AB’=AB=4。在Rt△AOB中（O为AC与BD交点），可求得AO、BO的长。设BE=x，则B‘E=x，在△B’EB中，利用角的关系（如∠EBB‘=60°）或勾股定理，建立方程求解。

11.总结归纳：在不同特殊平行四边形中，折叠问题的处理策略是一致的，但需结合该图形的独有性质（如菱形的对角线垂直平分、正方形的四边相等四个角都是直角等）进行综合分析。这进一步巩固了“万变不离其宗”——折叠的轴对称本质是所有问题的核心。

（六）课堂小结与反思（约5分钟）

【重要】教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

12.知识层面：再次强调折叠的本质是轴对称变换，核心性质是折叠前后两个图形全等，即对应边相等、对应角相等，对应点连线被折痕垂直平分。

13.方法层面：回顾解决折叠问题的“三步曲”：一找全等（对应关系）；二用勾股（或全等、等腰三角形性质，求出部分长度）；三设未知数，列方程求解。

14.思想层面：重点回顾本节课渗透的数学思想——数形结合思想（将几何图形关系转化为代数方程）、方程思想、转化思想（将复杂图形转化为直角三角形、等腰三角形等基本图形）以及分类讨论思想（特别是当图形不