15-3 相对论的基本原理和洛伦兹变换

一、相对论的基本原理

(1)爱因斯坦相对性原理:物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式,即所有的惯性系都是等价的。这就是说,在惯性系内部不能确定该惯性系的运动或静止。对运动的描述只有相对意义,绝对静止的参考系是不存在的。这是对经典力学相对性原理的继承和发展。

(2)光速不变原理:真空中的光速是常量,在任意惯性系中观察速度都恒为c,它与光源和观察者的运动无关,即不依赖于参考系的选择。显然该原理否定了伽利略变换式。二、洛伦兹时空变换

伽利略变换式不具有普遍性,它与光速不变原理不相容,那么就需要找出与狭义相对论相容的变换式。其实这一变换式在爱因斯坦提出相对论之前已经被洛伦兹发现了,但也可以通过狭义相对论的两条基本原理来导出,这反过来说明了两个基本假设的正确性与简洁性。下面就从狭义相对论的两条基本原理来导出洛伦兹时空变换式(以下简称为洛伦兹变换式)

有两个惯性系S(Oxyz)和S'(O'x'y'z'),它们的对应坐标轴互相平行,且S'系相对于S系以速度v

沿Ox

轴的正向做匀速直线运动,如图15.3所示。

开始时,两个惯性系重合,即t=t'=0时,x=x',y=y',z=z',在此时刻,从一个重合点O(O')发出一束光。在S系中,这束光在此后t时刻到达P点;在S'系中,到达P点的时刻为t'。根据光速不变原理,OP=ct,O'P=ct',所以有下列时空坐标间的关系式:

由于两参考系在y,z方向没有相对运动,所以参照伽利略变换式有y=y',z=z'。由于两个参考系在x轴方向做速度恒定的相对运动,而且对于任何一个参考系,时间和空间应该是均匀的,所以x和x'应该是线性关系,t和t'也应该是线性关系。假设它们的关系为

解方程组得

由于Ox

轴和O'x'轴同向,所以k

取正值;由于时间轴总是由过去指向未来,所以a取正值。由此得出该事件在两个惯性系S和S'中的时空坐标变换式,即洛伦兹变换式为

由洛伦兹变换式可看出,当惯性系S'相对于惯性系S

的运动速度v远小于光速c时,/,c1伦,洛伦兹变换式就转化为伽利略兹变换式与伽利略变换式等效,变换式伽利略。由变此换可式知只适,在用物于体低的速运运动动速物度体远的小时于空光变换。也就是说,伽利略变换是洛伦兹变换在低速(v≪c)下的近似。另外,根据洛伦兹变换式可以看出,任何物体的速度均不能达到或超过光速,即真空中的光速速率c

是一切物体运动速率的极限。

【例15.1】

S'系相对于S系以速度v

沿着S系的x

轴正方向匀速运动。在惯性系S

中静止的观测者竖直上抛一个物体。物体的初速度为u0,重力加速度为g,运动方程为利用洛伦兹变换式求出此物体在惯性系S'中的运动方程。

所以可得S'系中的运动方程为三、洛伦兹速度变换

利用洛伦兹变换式可以得到它的速度变换式。在洛伦兹变换式两边微分得

由速度定义,S'系和S系中物体运动的速度分别为

由此可得它们的速度分量之间的关系为

此式即为洛伦兹速度变换式。同理可以得到式(15-12)的逆变换式为

若一个光束在S

系中沿x

轴传播,速度为c,即ux=c,S'系相'对于S系以速度v

沿

Ox

轴方向作匀速直线运动,根据洛伦兹速度式可得到光束相对于S

系的速度为

【例15.2】从高能加速器中发射出两个方向相反的粒子,速率都是0.6c。问两个粒子的相对速率是多少?【解】由题意可知,粒子相对于地球的速率为0.6c,所以设地球为S系,两个粒子分别沿Ox

轴正向和负向运动,甲粒子的速度为0.6c,则