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文档简介

一、波函数与概率密度

由波动理论可知,沿x轴方向传播的平面机械波的波动方程为也可以写成复数的形式

自由粒子不受外力场的作用,其能量和动量保持不变,考虑到E=hν,p=h/λ,因而德布罗意波的波长和频率亦不变,可以认为它是平面单色波,波函数用Ψ(r,t)来表示,有

若沿任意方向传播,则可写成对于一般的微观粒子,可以用Ψ(r,t)来描述其运动状态,Ψ(r,t)即是与微观粒子联系在一起的德布罗意波的波函数,简称波函数。

在非相对论情况下,粒子不能产生和湮灭,由于|Ψ(r,t)|2

代表概率密度,那么任意时刻在全空间找到粒子的概率应该是1,即式(16-35)称为波函数的归一化条件,满足此式的波函数称为归一化波函数。所以在量子力学中Ψ(r,t)和AΨ(r,t)描述的是粒子的同一个运动态。

二、薛定谔方程

设一质量为m、动量为p、能量为E

的自由粒子沿x轴运动,则其波函数为在非相对论范围内,自由粒子的总能量等于其动能,动量和动能之间的关系为p2=2mEk。不难找到,这个波函数满足的线性方程为这就是作一维运动的自由粒子所满足的含时薛定谔方程。令ћ=h/(2π),式(16-36)可写为若粒子在势能为Ep

的势场中运动,则虽然我们不知道波函数满足的方程是什么,但知道当粒子的势能为零时应该能够变为式(16-36)。在经典力学中,粒子的总能量为E=Ep+Ek,代入式(16-37)不难得到

由式(16-43)得式(16-44)确定了波函数中的空间坐标部分,所以整个波函数可以写成

三、一维无限深方势阱

设想有一粒子在一维空间中沿x

轴运动,它的势能满足:方势阱内的粒子不受力,在边界处由于势能突然增大到无穷大,因而粒子受到一个无穷大的指向阱内的力。也就是说,粒子只能在宽度为a

的阱内自由运动而不能跃出阱外,这说明粒子在阱外出现的概率为零,所以粒子在阱外的定态波函数为零,即有

对于阱内,定态薛定谔方程为令方程(16-47)变为此式的通解为

将式(16-48)代入式(16-47)得到粒子所具有的可能的能量E

为式中,n

称为量子数。式(16-50)表明粒子的能量只能取离散的值。这就是说,一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。在量子力学中,对于每一个n的能量称为能级,对应的波函数称为能量本征波函数。每一个本征波函数所描述的粒子运动态称为能量本征态。能量最低的态称为基态,其他的态统称为激发态。由此可见,能量量子化是物质的波粒二象性的自然结论,而不像初期量子论那样,需以人为假设的方式引入。

图16.14给出了一维无限深势阱中粒子的波函数以及概率密度的曲线图。粒子在势阱各处的概率密度不均匀分布,而随量子数发生改变。按照经典的观点,粒子的能量应该连续分布,并且在阱内各处找到粒子的概率是相同的。当量子数n

很大时,相邻能级的能量差为

能级之间的差值随量子数n

的增加而增加,而且与粒子的质量和势阱的宽度有关。在微观领域,势阱的宽度和粒子的质量都非常小,所以量子化效应比较明显。能级间的相对间隔为

四、一维方势垒、隧道效应

一维方势垒的势能分布为

开始时,质量为m、

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