2025-2026学年北京市中考数学最后一模试卷（含答案解析）

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)2.若一组数据1、a、2、3、4的平均数与中位数相同，则a不可能是下列选项中的()A.0B.2.5A.3B.4C.5于点D,则线段CD的长为()A.4B.5C.6的是()A.正方体B.球C.圆锥D.圆柱体BC=4,则扇形BDE的面积为何?()7.一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为()8.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪(如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等)、滑冰(如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等)、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同.现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是()9.如果3x-4y=0,那么代数式的值为()A.110.若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6>0的解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是()A.5B.4二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13.一组数据1,4,4,3,4,3,4的众数是三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)如图，⊙0是Rt△ABC的外接圆，∠C=90°,,过点B的直线1是◎O的切线，点D是直线1上一点，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E,连接AD,交⊙0于点F,连接BF、CD交于点G.(1)求证：△ACB∽△BED;(3)若CD平分∠ACB,AC=2,连接CF,求线段CF的长.备用图化学20.0%化学20.0%21.(8分)已知抛物线y=x²-6x+9与直线y=x+3交于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为C,直线y=x+3与x轴交于点D.(1)求抛物线的顶点C的坐标及A,B两点的坐标；(2)将抛物线y=x²-6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t(t>0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶(3)点P(m,n)(-3<m<1)是抛物线y=x²-6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m,n的值.22.(10分)如图，△ABD是⊙0的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙0外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.求证：BC是⊙0的切线；若⊙0的半径为6,BC=8,求弦BD的长.23.(12分)如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过点P(1,m)作直线PA⊥x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(点B、C不重合),连接CB、CP.(Ⅱ)当m>1时，连接CA,若CA⊥CP,求m的值；(II)过点P作PE⊥PC,且PE=PC,当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标.一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)【解析】与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.【解析】(1)将这组数据从小到大的顺序排列后为a,1,2,1,4,中位数是2,平均数是0.2a+2,∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=2,解得a=0,符合排列顺序.(2)将这组数据从小到大的顺序排列后为1,a,2,1,4,中位数是2,平均数是0.2a+2,∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=2,解得a=0,不符合排列顺(1)将这组数据从小到大的顺序排列后1,2,a,1,4,中位数是a,平均数是0.2a+2,∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=a,解得a=2.5,符合排列顺序.(4)将这组数据从小到大的顺序排列后为1,2,1,a,4,中位数是1,平均数是0.2a+2,∵这组数据1、a、2、1、4的平均数与中位数相同，∴0.2a+2=1,解得a=5,不符合排列顺序.(5)将这组数据从小到大的顺序排列为1,2,1,4,a,中位数是1,平均数是0.2a+2,故选C.本题考查中位数；算术平均数.【解析】的系数k,由此即可求出S₁+S₁.【详解】则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,故选D.【解析】先利用已知证明△BAC:△BDA,从而得出,求出BD的长度，最后利用CD=BD-BC求解即可.【详解】故选：B.本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.【解析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞.【详解】根据三视图的知识来解答.圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项.故选D.此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难.【解析】故选C.【解析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率.【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.【解析】先找出滑雪项目图案的张数，结合5张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解.【详解】∵有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，故选B.本题考查了简单事件的概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而将3x=4y代入即可得.【详解】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.【解析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可.【详解】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11、同位角相等，两直线平行.【解析】12、2.1或2【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求AB的长，根据折叠的性质可得QD=BD,QP=BP,根据三角形中位线定理可得【详解】再在Rt△QEP中，根据勾股定理可求QP,继而可求得答案.在Rt△ACB中，∠C=90°,AC=6,BC=由折叠的性质可得QD=BD,QP=BP,①当点P在DE右侧时，即QP²=(4-QP)²+2²,解得QP=2.1,②当点P在DE左侧时，同①知，BP=2故答案为：2.1或2.考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系.【解析】本题考查了统计的有关知识，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.【详解】在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1.故答案为1.本题为统计题，考查了众数的定义，是基础题型.【解析】DE=AD,便可求出EF和AF,从而得到△AEF的面积.【详解】【解析】根据科学记数法即可得到答案.【详解】数字37000000用科学记数法表示为3.7×107.本题主要考查了科学记数法的基本概念，解本题的要点在于熟知科学记数法的相关知识.【解析】考点：概率.三、解答题(共8题，共72分)17、(1)详见解析；(2)【解析】(1)只要证明∠ACB=∠E,∠ABC=∠BDE即可；(2)首先证明BE:DE:BC=1:2:4,由△GCB∽△GDF,可得(3)想办法证明AB垂直平分CF即可解决问题【详解】(1)证明：如图1中，(2)解：如图2中，∵△ACB∽△BED;四边形ACED是矩形，(3)解：如图3中，本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型.【解析】分析：(1)把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；(2)设P(t,0),则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标.且A(2,3),∴S△.∵△ACP的面积为3,∴解得：t=-6或t=-2,∴P点坐标为(-6,0)或(-2,0).19、(1)50人；(2)补图见解析；(3)【解析】(2)历史学科的人数为50-(5+10+15+6+6)=8人，化学20.0%化学20.0%政治历史化学生物政治化学生物、化学历史、化学生物历史、生物政治化学、政治生物、政治历史、政治地理、政治20、(1)见解析；(2)直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点);理由见解析.【解析】(2)连接AC、EG,交点为0;先证明△AOE≌△COG,得出OA=0C,证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心.∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心.点睛：考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.【解析】分析：(I)将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标，联立抛(Ⅱ)由题意可知：新抛物线的顶点坐标为(2-t,1),然后求出直线AC的解析式后，将点E的坐标分别代入直线AC与AD的解析式中即可求出t的值，从而可知新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围.(Ⅲ)直线AB与y轴交于点F,连接CF,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥x轴于点N,交DB于点G,由直线y=x+2与x轴交于点D,与y轴交于点F,得D(-2,0),F(0,2),易得CF⊥AB,△PAB的面积是△ABC面积的2m+2),所以PG=n-(m+2),所以n=m+4,由于P(m,n)在抛物线y=x²-1x+9上，联立方程从而可求出m、n的值.详解：(1)∵y=x²-1x+9=(x-2)²,∴顶点坐标为(2,0).解得：或(II)由题意可知：新抛物线的顶点坐标为(2-t,1),设直线AC的解析式为y=kx+b将A(1,4),C(2,0)代入y=kx+b中，∴当点E在直线AC上时，-2(2-t)+1=1,解得：(I)如图，直线AB与y轴交于点F,连接CF,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥x轴于点N,交DB于点G.得D(-2,0),F(0,2),∴OD=OF=2.22、(1)详见解析；(2)BD=9.6.【解析】∴∠OBE+∠DBC=90°,∴∠OBC=90°,即BC⊥OB,∴BC是◎O的切线.·点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.23、(I)4;(Ⅱ)(Ⅲ)(2,0)或(0,4)【解析】(I)当m=3时，抛物线解析式为y=-x²+6x,解方程-x²+6x=0得A(6,0),利用对称性得到C(5,5),从而得到BC(I)解方程-x²+2mx=0得A(2m,0),利用对称性得到C(2m-1,2m-1),再根据勾股定理和两点间的距离公式得到(Ⅲ)如图，利用△PME≌△CBP