华北电力大学(保定)《通信原理》课件-第2章信号

华北电力大学(保定)《通信原理》第2章信号第2章信号信号的类型确知信号的频域性质确知信号的时域性质随机信号的性质学习目标：信号的类型确知信号的频域性质确知信号的时域性质信号的类型通信系统中的信号按照取值方式不同可以分为模拟信号和数字信号，通信系统中的信号还可以有其它的分类方法。按信号确定性分为确知信号和随机信号按信号强度分为能量信号和功率信号 一、确知信号和随机信号确知信号：是指其取值在任何时间都是确定的和或预知的信号。 特点：通常可用一个数学公式计算出它在任何时间的取值。例如：一段确定的正弦波 可分为周期信号（如无限长的正弦波）非周期信号（如一个矩形脉冲）随机信号：是指其取值不确定且不能事先的确切预知的信号。特点（1）不可能用一个数学公式计算出它在任何时间的取值。 （2）在一个长时间内观察，这种信号有一定的统计规律，可找到它的统计特性。二、能量信号和功率信号

为了便于用数学进行定量的理论分析，可以将通信系统中的信号分为能量信号和功率信号．１．信号能量与信号功率定义信号能量定义：信号归一化的能量定义为由电压加于单位电阻（1欧姆）上，或者由电流通过单位电阻（1欧姆），所散耗的能量。令能量为E，则它定义为

信号功率定义：信号电压在单位电阻上（或信号电流通过单位电阻）所消耗的平均功率。例：若信号电压或电流的值不随时间变化，则若信号若信号电压或电流的值随时间变化，例则２．能量信号和功率信号能量信号定义：能量为有限的信号为能量信号。其平均功率为０。 例如：持续时间受限的波形，如脉冲信号。对于周期信号，由于它导致积分值无穷大，故其能量是无意义的。功率信号定义：能量为无穷大而功率为有限的信号就称为功率信号。例如：周期信号例：求信号的能量-T/2T/2s(t)A3.说明：根据我们对能量信号和功率信号的定义可知，因为能量信号的平均功率为零，故研究其功率无实际价值。同样，对于功率信号的能量必为无穷大，故研究其能量也无意义。另外周期信号必然是功率信号，但功率信号并非一定是周期信号，（比如：单位阶跃信号等）。确知信号的频域性质一、频域性质确知信号在频域中的性质，即频率特性，由其各个频率分量的分布表示。它是信号的重要性质之一，与信号的占用频带宽度及信号的抗噪声能力有密切关系。 信号的频率特性有四种，即频谱、频谱密度、能量谱密度和功率谱密度。

１、功率信号的频谱（１）周期信号的频谱设一个周期性功率信号 的周期为 则它的频谱 是一个复数，代表频率上信号分量的复振幅．可以写为

----频率为的分量的振幅；

----频率为的相位．说明：对于周期性功率信号来说，其频谱是离散的．它的频谱就是它包含的各次谐波的振幅和相位．信号可以用它的傅里叶级数表示为【例2.1】

试求周期性方波的频谱解：信号的频谱信号的傅里叶级数表示式为由频谱图可见，它是一些高度不等的离散线条．每根线条的高度代表该频率分量的振幅．1功率信号的频谱2能量信号的频谱密度功率信号的频谱密度3能量谱密度4功率谱密度【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱．

解：设此信号的表示式为 求频谱：

信号的傅里叶级数表示式：1f(t)t（２）非周期功率信号的频谱原则上可看作其周期为无穷大，仍然可以按照以上公式计算，但实际上式中的积分是难以计算出的．２．能量信号的频谱密度功率信号的频谱密度设一能量信号为，则它的频谱密度可以由它的傅里叶变换求出

S()的逆变换为原信号：分析：

是 的频谱函数，它一般是复函数，可以写作 是 的模，它代表信号中各频率分量的相对大小。 是的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系。 为了和周期信号的频谱相一致，在这里人们习惯上也把 与 曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱。实能量信号的频谱密度和实功率信号共性：负频谱和正频谱模偶对称，相位奇对称，有

【例2.3】试求一矩形脉冲的频谱密度抽样函数的定义是

解：设此矩形脉冲的表示式为

则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：G(w)分析：为了传输这样的矩形波形，在实用中通常将上图中第一个0点的位置作为带宽就够了，即认为矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于Hz．G(w) 【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。

解：抽样函数的定义是 而Sa(t)的频谱密度为： 和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。 【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度．解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：

(t)的频谱密度：f

(f)10t

(t)0

函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。函数的性质对f(t)的抽样：函数是偶函数：函数是单位阶跃函数的导数：u

(t)=

(t)

t10图2.2.6单位阶跃函数用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质 当k时，振幅， 波形的零点间隔0， 故有ttt冲激函数的傅里叶逆变换此结果说明，直流信号的傅里叶变换是冲激函数。直流信号的傅里叶变换

例：阶跃函数的傅里叶变换符号函数（又称正负号函数）以符号sgn记，其表示式为

阶跃函数单位阶跃函数的傅里叶变换

可见，单位阶跃函数 的频谱在w=0点存在一个冲激函数，因 含有直流分量，这是在预料中的。此外，由于 不是纯直流信号，它在t=0点有跳变，因此在频谱中还出现其它频率分量。能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱Ｃ(jnw0)的主要区别：（１）S(f)----连续谱，Ｃ(jnw0)-----离散谱；（２）S(f)的单位是（V/Hz）,而Ｃ(jnw0)的单位是V；（３）S(f)在一频率点上的幅度＝无穷小。 原因：能量信号的能量有限，并连续分布在频率轴上，所以在每个频率点f上信号的幅度是无穷小；只有在一小段频率间隔df上才有确定的非0振幅． 功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的频率点上有确定的非0振幅．注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱，这是在概念上不要和周期信号的频谱相混淆．

有时我们把功率信号当做能量信号看待，计算其频谱密度． 从概念上不难想象，功率信号的频谱中，在其各个谐波频率上具有一定的非0功率，故在这些频率上的功率密度为无穷大．但是我们用冲激函数来表示这些频率分量．例2.6试求无限长余弦波的频谱密度t

0－

00(b)频谱密度(a)波形分析：正弦余弦信号傅里叶变换由频移特性画出F（w）—w图只要引入冲激函数，同样可以对一个功率信号求其频谱密度．３．帕斯瓦尔（Parseval）定理若 为周期信号（功率信号）若 为能量信号，且其傅里叶变换为，则下列关系式成立：证明若 为周期性功率信号，则有上两式说明了这样一个重要概念：时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量单独贡献出的能量的连续和；而周期信号的总的平均功率等于各个频率分量单独贡献出的功率之和；而不同频率分量之间的乘积，对信号的总能量或总功率都不发生任何影响。以上概念通常用帕斯瓦尔（Parseval）定理来表述。4能量谱密度与功率谱密度(1)能量谱密度

设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定： 若此信号的频谱密度，为S(f)，则由Parseval定理得知： 上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。上式可以改写为：式中，G(f)＝ |S(f)|2（J/Hz）

为能量谱密度。G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2是偶函数，∴

(2)功率谱密度

令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2<t<T/2，则有 定义功率谱密度为：

得到信号功率：注： 或 存在于每一f值上，但在任一频率f上，该频率分量的能量值或功率值为无穷小。只有在一个任意小区间 内才有值为 的能量或值为 的功率。例：倘若功率信号是周期性的，则其功率谱密度很容易求得。对照功率谱密度定义与帕斯瓦尔定理，可得所以为周期信号的功率谱密度。若结论：此结果是合乎逻辑的。根据帕斯瓦尔定理，信号的总功率是一系列离散频率分量的冲激函数之和。因而，信号的功率谱密度必然是一系列强度为 的相应频率分量的冲激函数之和。注意：无论是能量谱密度还是功率谱密度，由于它们仅与模值有关，而与什么样的相位频率特性无关。因而，凡是具有相同振幅频率特性的信号，不管其相位频谱特性如何，都可具有相同的谱密度函数。所以，从信号的能量及其谱密度（或功率及其谱密度）那里只能获得关于信号的振幅信息，而得不到信号的任何相位信息。例：已知某噪声的 如图所示，求该噪声的平均功率．常见的付氏变换确知信号的时域性质确知信号在时域中的性质主要有自相关函数和互相关函数．１自相关函数功率信号自相关函数定义能量信号自相关函数定义意义：自相关函数反映了一个信号与其延迟 秒后的信号间相关的程度．性质（１）和时间无关，只和时 间差有关． （２）当 时， 能量信号的等于信号的能量； 功率信号的 等于信号的功率．能量信号的自相关函数与能量谱密度之间的关系功率信号的自相关函数与功率谱密度之间的关系２互相关函数能量信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：

为相关系数.归一化相关系数定义为

性质：R12(

)只和有关，和t无关；

证：令x=t+

，则波形间的相关示意图例：课堂作业2.2~2.9P34在数字通信系统中，接收端在接收到发送端送出的消息之前，总是不可能确切知道所发送的消息是什么，否则通信就没有意义了．即发送的消息有某种不确定性．通信系统中的噪声也是随机变化的．信道特性本身也不是恒定的．所以接收信号是一种随机信号，具有某种不可预知性．若长时间观察大量的接收信号，可发现它又具有统计规律．随机信号的性质随机变量的概率分布----连续与离散随机变量的概率密度----连续与离散随机变量的数字特征----数学期望.方差常见随机变量举例----正态.均匀.瑞利随机变量的概率分布随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。随机变量的分布函数：定义：FX(x)=P(X

x)

性质：∵P(a<X

b)+P(X

a)=P(X

b),

P(a<X

b)=P(X

b)–P(X

a)，

∴

P(a<X

b)=FX(b)–FX(a) 离散随机变量的分布函数：设X的取值为：x1

x2…xixn，其取值的概率分别为p1,p2,…,pi,…,pn，则有

P

(X<x1)=0, P(Xxn)=1

∵P(Xxi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi),

∴性质：

FX(-)=0FX(+)=1

若x1<x2，则有: FX(x1)FX(x2)， 为单调增函数。连续随机变量的分布函数：

当x连续时，由定义分布函数定义

FX(x)=P(X

x)

可知，FX(x)为一连续单调递增函数：随机变量的概率密度连续随机变量统计特性的描述还有另一种方法，即用概率密度来描述．讨论问题（１）概率密度的含义及其性质（２）离散随机变量的概率密度

连续随机变量的概率密度pX(x)pX(x)的定义：pX(x)的意义：pX(x)是FX(x)的导数，是FX(x)曲线的斜率能够从pX(x)求出P(a<X

b)：pX(x)的性质：

pX(x)

0离散随机变量的概率密度 离散随机变量的分布函数可以写为： 式中，pi

－x=xi

的概率

u(x)－单位阶跃函数 将上式两端求导，得到其概率密度：

性质： 当x

xi

时，px(x)=0， 当x=xi

时，px(x)=

常见随机变量举例正态分布随机变量定义：概率密度式中，

>0,a=常数概率密度曲线：均匀分布随机变量定义：概率密度

式中，a，b为常数概率密度曲线：bax0pA(x)瑞利(Rayleigh)分布随机变量

定义：概率密度为式中，a>0，为常数。概率密度曲线：

随机变量的数字特征 上面讨论的分布函数和概率密度函数,能够较全面地描述随机变量的统计规律.

然而在很多场合我们只需了解随机变量的某些规律,例如随机变量的统计平均值,以及随机变量的取值相对于这个平均值的偏离程度等.

这些描述随机变量的各种特性的数值,称为随机变量的数字特征.1.数学期望

2.方差

3.矩的概念

数学期望定义：对于连续随机变量为随机变量X的概率密度性质：

常量的数学期望就是其本身

设两个随机变量的数学期望存在

推广到多个随机变量常量与随机变量之和的数学期望

若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。

常量与随机变量之积的数学期望

方差引入：数学期望只是随机变量的一个最基本的特征。它还不能满足许多实际问题的需要。例如，一个数字通信系统的内部噪声，它通常只有交流分量，即其数学期望等于0。但是这并不说明没有噪声存在。交流噪声的瞬时取值是以0值为中心在随机地变化着。所以，为了了解噪声的大小，还需要知道瞬时值偏离0值的程度。下面将讨论的方差就是描述一个随机变量偏离其数学期望程度的数字特征。定义： 式中，方差的改写： 证：对于离散随机变量，对于连续随机变量，性质：D(C)=0

D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)设D(X)和D(Y)存在，X和Y相互独立D(X1+X2+…+Xn)