混凝土结构设计原理课件 第6章 受弯构件正常使用极限状态的有关计算

第6章受弯构件正常使用极限状态有关计算混凝土结构设计原理PrinciplesofConcreteStructureDesign1.两种极限状态计算的区别

承载能力极限状态计算：

讨论构件在各种不同受力状态下的承载力，承载力计算是保证结构安全的首要条件，由此决定了构件的尺寸、材料、配筋及构造。

6.1概述正常使用极限状态计算：对于所有的钢筋混凝土构件都要求进行承载能力极限状态计算，而对受弯构件，还要根据使用条件进行正常使用极限状态的计算，以保证在正常使用情况下的应力、裂缝和变形小于正常使用极限状态的限值。

2.正常使用极限状态计算的内容施工阶段的混凝土和钢筋应力验算使用阶段受弯构件的变形验算

使用阶段受弯构件最大裂缝宽度验算3.正常使用极限状态的特点

计算依据不同：承载能力极限状态是以破坏阶段(Ⅲa)的状态为建立计算图式的基础；而正常使用极限状态是以第Ⅱ阶段(即梁带裂缝工作阶段)为基准。

影响程度不同：与承载能力极限状态相比,超过正常使用极限状态所造成的后果(如人员伤亡和经济损失)的危害性和严重性相对要小一些、轻一些,因而可适当放宽对其可靠性的保证率的要求。

计算内容不同：承载能力极限状态：包括截面设计和截面复核。

其计算决定了构件设计尺寸、材料、配筋数量及钢筋布置，以保证：γ0Md

≤Mu；γ0Vd

≤Vu

。正常使用极限状态：验算正常使用情况下应力、裂缝宽度和变形小于规范规定的各项限值。

荷载效应及抗力的取值不同：

承载能力极限状态：汽车荷载应计入冲击系数，荷载效应及结构构件的抗力均应采用考虑了分项系数的设计值；在多种荷载效应情况下，应将各效应设计值进行最不利组合，并考虑除汽车荷载以外的其他可变荷载效应的组合系数。

正常使用极限状态：汽车荷载应不计冲击系数，荷载效应应取用频遇组合、准永久组合、或频遇组合并考虑长期效应的影响。对构件的应力、裂缝宽度和挠度进行验算，并使各项计算值不超过规范规定限值。

受弯构件第II工作阶段特征：弯曲竖向裂缝已形成并开展,中和轴以下大部分混凝土退出工作,由钢筋承受拉力,其应力σs还远小于屈服强度,受压区混凝土压应力图形呈直线或曲线。受弯构件的荷载—挠度(跨中)关系曲线是一条接近于直线。因此,第II工作阶段又可称为开裂后弹性阶段。6.2换算截面1.三项基本假定平截面假定；弹性体假定(压区混凝土压应力近似按线性分布)；受拉区混凝土不承担拉应力，拉应力完全由钢筋承担。受弯构件的开裂截面a)开裂截面b)应变分布c)开裂截面的计算图式(1)平截面假定——梁的正截面在梁受力并发生弯曲变形以后，仍保持为平面。

1.三项基本假定、——分别为混凝土的受拉和受压平均应变；——与混凝土拉应变为的同一水平位置处的钢筋平均拉应变；——受压区高度；——截面有效高度。(2)弹性体假定1.三项基本假定假定受拉钢筋水平位置处混凝土的拉应变与应力成正比

假定受压区混凝土的压应变与应力成正比(3)受拉区混凝土不承担拉应力由弹性体和平截面假定：钢筋处于弹性状态，符合：故有：

αEs称为钢筋混凝土构件截面的换算系数，等于钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值。1.三项基本假定2.换算截面几何特性

定义：

将钢筋和混凝土两种材料组成的实际截面换算成为一种拉压性能相同的假想材料组成的匀质截面即换算截面。原截面

换算截面(1)单筋矩形截面的换算截面

换算原则：换算前后合力的大小和作用点的位置不变。∴

∵

式中：——钢筋截面积

换算成假想的受拉混凝土截面积——钢筋混凝土构件截面的换算系数，等于弹性模量比。

即钢筋的换算面积。几何特性

开裂截面的换算截面面积

换算截面对中性轴静矩

受压区受拉区

开裂截面的换算截面惯性矩

受压区高度x：的形心轴，即

矩形截面：对于受弯构件，开裂截面的中性轴通过其换算截面(即静矩相等)，得到

第一类T形截面第二类T形截面开裂状态下T形截面换算计算图式(2)T形截面的换算截面①

时：按宽度为的矩形截面换算开裂截面的几何特性。

②

时：表明中性轴位于T形截面的肋部。(由静矩相等可推出)式中：

换算截面对其中性轴的惯性矩

第二类T形截面(3)全截面的换算截面

定义：砼全截面面积和钢筋的换算面积所组成的截面。

几何特性：

a)原截面b)换算截面全截面换算示意图

钢筋混凝土梁在施工阶段，特别是梁的运输、安装过程中，梁的支承条件、受力图式会发生变化。《公路桥规》要求进行施工阶段的应力计算。在进行施工阶段验算时，应根据可能出现的施工荷载进行内力组合，构件在吊装时。构件重力应乘以动力系数1.2或0.85，并可视构件具体情况适当增减。

当吊机行驶在桥梁上进行安装时，应该对已安装的构件进行验算，吊机应乘以1.15的荷载系数。如吊机所产生的效应设计值小于按持久状况承载能力极限状态计算的荷载效应设计值时，可不进行验算。6.3应力计算施工阶段受力图

1.应力限值

对于钢筋混凝土受弯构件，《公路桥规》要求进行施工阶段的应力计算，并应根据可能出现的施工荷载进行内力组合；同时，受弯构件正截面应力应符合下列条件：

受压区混凝土边缘应力：受拉钢筋应力：

式中，和分别为混凝土轴心抗压强度标准值和普通钢筋的抗拉强度标准值；为按短暂状况计算时受拉区第i层钢筋的应力。2.应力计算

(1)矩形截面梁正应力计算步骤

计算受压区高度x；

计算开裂截面的换算截面惯性矩

计算截面应力：

矩形截面梁受力状态图受压区混凝土边缘：

受拉钢筋面积重心处：－－由临时施工荷载标准值产生的弯矩值。25

在施工阶段，T形截面在弯矩作用下，其翼板可能位于受拉区(图9-6a

)，也可能位于受压区(图9-6b、c

)。

a)倒T形截面b)第一类T形截面c)第二类T形截面T形截面梁受力状态图

(2)T形截面梁正应力计算步骤

(2)T形截面梁正应力计算步骤1）当翼板位于受拉区时，按照宽度为b、高度为h的矩形截面进行应力验算。2）当翼板位于受压区时，则先应按下式进行计算x并判断T

形截面类型：①若，为第一类T形截面，则可按宽度为的矩形梁计算。②若，为第二类T形截面，重新计算、。3）求受压区高度x

和截面惯性矩Icr①若，为第一类

T形截面，则可按宽度为的矩形梁计算。②若，为第二类T形截面，重新计算、。

其中、4）求截面应力受压区混凝土边缘：

－－由临时施工荷载标准值产生的弯矩值。当施工阶段应力验算不满足时，应该调整施工方法，或者补充、调整某些钢筋。受拉钢筋面积重心处：例6-1钢筋混凝土简支T梁梁长L0=19.96m，计算跨径L=19.5m。C30混凝土，fck=20.1MPa，ftk=2.01MPa，Ec=3.0×104MPa；I类环境条件，设计使用年限100年，安全等级二级。主梁跨中截面主筋为HRB400级，主筋的最小保护层厚度为35

mm。钢筋截面积As=6836mm²，as=111mm，Es=2×105MPa，fsk=400MPa。29

例6-1图（尺寸单位：mm）

简支梁吊装时，其吊点设在距梁端

a=400mm处，梁自重在跨中截面引起的弯矩MG1=505.69kN·m。试进行钢筋混凝土简支T梁的截面正应力验算。30

例6-1图（尺寸单位：mm）解：1）

施工吊装时的正应力验算（1）梁跨中截面的换算截面惯性矩Icr计算根据《公路桥规》规定计算得到梁受压翼板的有效宽度为b'f=1500mm，而受压翼板平均厚度为110mm，有效高度h0=h-as=1300-111=1189mm。由式（6-11）计算截面混凝土受压区高度为得到

x=240.12mm＞h'f(=110mm)故为第二类T形截面。31换算截面受压区高度x应由式（6-12）确定：32故33按式（6-13）计算开裂截面的换算截面惯性矩Icr为（2）正应力验算吊装时动力系数为1.2（起吊时主梁超重），则跨中截面计算弯矩为Mtk=1.2MG1=1.2×505.69×106=606.828×106N·mm。由式（6-17）算得受压区混凝土边缘正应力为34由式（6-18）算得受拉钢筋的面积重心处的应力为最下面一层钢筋（2

32）重心距受压边缘高度为

则钢筋应力为验算结果表明，吊装时主梁跨中截面混凝土正应力和钢筋拉应力均小于规范限值，可取图示的吊点位置。351.钢筋混凝土结构的裂缝成因1）作用效应(如弯矩、剪力等)引起的裂缝。2）由外加变形或约束变形引起的裂缝。3）钢筋锈蚀引起的裂缝。6.4受弯构件裂缝及最大裂缝宽度验算各种内力产生的裂缝形态图

①由作用效应引起的裂缝,主要通过设计验算和构造措施加以控制。Ns

Ns

Ns

Ns

Ns

Ns

e0

e0

Ts

(a)(b)(c)(d)

(e)Ts

FF

混凝土收缩引起的裂缝，往往发生在混凝土的硬化初期，因此需要有良好的初期养护条件和合适的混凝土配合比没计。《公路桥规》规定，对于钢筋混凝土薄腹梁，应沿梁腹高的两侧设置直径为(6～10)mm的水平纵向钢筋。并且具有规定的配筋率(0.001～0.002)以防止过宽收缩裂缝。②由外加变形或约束变形引起的裂缝，如混凝土收缩、温度变化、基础不均匀沉降等外加变形或约束变形引起开裂，主要通过采用构造措施和施工工艺加以控制。③由钢筋锈蚀引起的裂缝：由于保护层混凝土碳化，冬季施工时掺氯盐过多导致钢筋锈蚀所至。采取构造措施(足够厚度的混凝土保护层和保证混凝土的密实性，严格控制早凝剂的掺入量)。为什么要控制裂缝宽度？适用功能要求：贮液（气）容器等外观要求，心理界限：0.3mm

耐久性要求：防钢筋锈蚀2.受弯构件弯曲裂缝宽度计算理论和方法1)粘结滑移理论钢筋应力通过钢筋与混凝土间的粘结应力传给混凝土，当混凝土裂缝出现后，因钢筋和混凝土间产生了相对滑移，变形不一致而导致裂缝开展。40图6-8a)粘结滑移理论示意图41

2）

无滑移理论混凝土表面裂缝宽度是由钢筋至构件表面的应变梯度控制，裂缝宽度随着离钢筋距离的增大而增大，钢筋的保护层厚度是影响混凝土裂缝宽度的主要因素。图6-8b)无滑移理论示意图423）综合理论综合理论是粘结滑移理论和无滑移理论的综合，既考虑混凝土保护层厚度对裂缝宽度的影响，也考虑钢筋和混凝土之间可能出现的滑移。图6-9综合理论示意图434）基于试验数据的数理统计分析方法分析影响混凝土裂缝宽度的主要因素，利用数理统计方法来处理大量的试验资料而建立混凝土最大裂缝宽度计算的公式。影响混凝土裂缝宽度的主要因素：钢筋应力σss、钢筋直径d、配筋率ρ、保护层厚度c、钢筋外形、荷载作用性质、构件受力性质（受弯、偏心受拉、偏心受压）等。3.《公路桥规》对混凝土最大裂缝宽度计算方法矩形、T形和工字形截面的钢筋混凝土受弯构件，其最大裂缝宽度计算式：

44钢筋表面形状系数，对于光面钢筋，c1=1.4；对于带肋钢筋，c1=1.0；与构件受力性质有关的系数，当为钢筋混凝土板式受弯构件时，c3=1.15；当为其他受弯构件时，c3=1.0。钢筋弹性模量（MPa）最外排纵向受拉钢筋的混凝土保护层厚度（mm）,当c＞50mm时取50mm。（mm）（6-24）c2作用（或荷载）长期效应影响系数，c2=1+0.5Ml/Ms

，其中Ml

和Ms分别为按作用效应的准永久组合和频遇组合计算的弯矩值。45（mm）（6-24）纵向受拉钢筋的有效配筋率。对钢筋混凝土构件，当ρte＞0.1时，取ρte=0.1；当ρte

0.01时，取ρte=0.01。由作用（或荷载）频遇组合引起的开裂截面纵向受拉钢筋应力(MPa)。对于钢筋混凝土受弯构件：其他受力性质构件的计算式参见《公路桥规》；

纵向受拉钢筋的直径（mm），当用不同直径钢筋时，改用换算直径de，，对钢筋混凝土构件，ni为受拉区第i种普通钢筋的根数，di为受拉区第i种普通钢筋公称直径；对于焊接钢筋骨架，式(6-24)中的d或de应乘以1.3的系数；＜关于有效受拉混凝土截面面积Ate（1）裂缝出现后距钢筋较远的混凝土受到钢筋的约束影响很小，只有钢筋周围有限范围内的混凝土受到钢筋的约束并且参与共同作用，把纵向受拉钢筋周围有限范围内的这部分混凝土面积就称为有效受拉混凝土截面积。（2）《公路桥规》规定对受弯构件有效受拉混凝土截面积为：Ate=2asb。as为受拉钢筋重心至受拉边缘的距离。对矩形截面，b为截面宽度，对有受拉翼缘的倒T形、工字形截面，b为受拉区有效翼缘宽度。图6-10有效受拉混凝土截面积计算取法示意图

钢筋混凝土构件的裂缝宽度，应按作用(或荷载)频遇组合并考虑准永久组合影响进行验算，且不得超过规范规定的限值。在Ⅰ类和Ⅱ类环境条件下的钢筋混凝土受弯构件，混凝土弯曲裂缝计算宽度不应超过0.20mm；处于Ⅲ类和Ⅳ类环境下的钢筋混凝土受弯构件，容许裂缝宽度不应超过0.15mm，Ⅴ类和Ⅵ类环境下的钢筋混凝土受弯构件，容许裂缝宽度不应超过0.10mm

。《公路桥规》规定的裂缝宽度限值，是对在作用（或荷载）频遇组合并考虑准永久组合下构件的弯曲竖向裂缝而言，不包括施工中混凝土收缩、养护不当等引起的其他非受力裂缝。

例6-2已知条件与例6-1相同。

钢筋混凝土简支T梁跨中截面，汽车荷载标准值产生的弯矩为MQ1=596.04kN·m（未计入汽车冲击系数）；人群荷载标准值产生的弯矩MQ2=55.30kN·m；永久作用(恒载)标准值产生的弯矩MG=751kN·m。试进行钢筋混凝土简支T梁的弯曲裂缝最大宽度的验算。48解：（1）系数c1、c2和c3的计算①带肋钢筋，取系数c1=1.0；②作用频遇组合的弯矩计算值为

Ms=MG+ψf1MQ1+ψq2MQ2

=751+0.7×596.04+0.4×55.30

=1190.35kN·m作用准永久组合的弯矩计算值为

Ml=MG+ψq1MQ1+ψq2MQ2

=751+0.4×596.04+0.4×55.30=1011.54kN·m系数c2=1+0.5Ml/Ms=1+0.5×1011.54/1190.35=1.42；③系数c3，非板式受弯构件，故取c3=1.0。49（2）钢筋应力

ss的计算（3）换算直径d

因为受拉区采用不同的钢筋直径，按式（6-24）要求，d应取用换算直径de，则可得到对于焊接钢筋骨架，d=de=1.3×30.2=39.26mm50

（4）纵向受拉钢筋的有效配筋率

te

的计算按图6－7a)，计算有效受拉混凝土面积Ate：Ate=2asb=2×111×180=39960mm2纵向受拉钢筋的有效配筋率

te的计算值为

te=As/Ate=6863/39960=0.171＞0.1故取

te

=0.1。（5）最大混凝土裂缝宽度Wmas的计算由式（6-24）计算可得到

满足要求。511.为何对钢筋混凝土受弯构件进行变形验算挠度过大,损坏使用功能：如简支梁跨中挠度过大，将使梁端部转角大，引起行车对该处产生冲击，破坏伸缩缝和桥面；连续梁的挠度过大，将使桥面不平顺，行车时引起颠簸和冲击等问题。使相邻构件开裂、压碎：如连续梁跨中支点处，截面上侧受拉开裂，截面下侧受压碎裂。心理安全。6.5变形(挠度)验算2.材力挠度计算公式对简支梁，挠度计算的一般公式是：

式中：

—与荷载形式有关的荷载效应系数；B—构件截面抗弯刚度，即截面抵抗弯曲变形的能力。

简支梁在均布荷载作用下跨中挠度简支梁在跨中集中荷载作用下跨中挠度均布荷载3.钢筋混凝土受弯构件的抗弯刚度计算公式

钢筋混凝土受弯构件各截面的配筋不一样，承受的弯矩也不相等，弯矩小的截面可能不出现弯曲裂缝，其刚度要较弯矩大的开裂截面大得多，因此沿梁长度的抗弯刚度是个变值。

为简化起见，把变刚度构件等效成等刚度构件，采用结构力学方法，按在两端部弯矩作用下构件转角相等的原则，求得等刚度受弯构件的等效刚度B，即为开裂构件等效截面的抗弯刚度。

a)构件弯曲裂缝b)截面刚度变化c)等效刚度的构件图6-11构件截面等效示意图《公路桥规》规定：钢筋混凝土受弯构件计算变形时的抗弯刚度为：

式中：B——开裂构件等效截面的抗弯刚度；B0——全截面的抗弯刚度;

Bcr——开裂截面的抗弯刚度;Ec——混凝土的弹性模量；I0——全截面换算截面惯性矩；

Icr——开裂截面换算截面惯性矩；Ms――按作用效应频遇组合计算的弯矩值；Mcr——开裂弯矩;γ——构件受拉区混凝土塑性影响系数

W0——全截面换算截面抗裂验算边缘的弹性抵抗矩。S0——全截面换算截面重心轴以上(或以下)部分面积的面积矩;4.钢筋混凝土受弯构件使用阶段的挠度计算应考虑长期效应的影响，即按作用(荷载)效应频遇组合计算的挠度值乘以挠度长期增长系数ηθ，

即fl

=ηθfs

。挠度长期增长系数ηθ：当采用C40以下混凝土时，ηθ

=1.60；当采用C40~C80混凝土时，ηθ

=1.45~1.35，中间强度等级可按直线内插取用。5.钢筋混凝土受弯构件挠度验算要求

《公路桥规》规定：钢筋混凝土受弯构件由作用效应频遇组合并考虑长期作用效应产生的长期挠度值减去结构自重产生的长期挠度值≤挠度限值。因为，对于结构自重引起的变形，采取设置预拱度加以消除。梁式桥主梁的最大挠度处：梁式桥主梁的悬臂端：

此处l为受弯构件的计算跨径，l1为悬臂长度。

钢筋混凝土受弯构件挠度限值：

预拱度设置要求：

（1）当由作用（或荷载）作用效应频遇组合并考虑作用（或荷载）长期效应影响产生的长期挠度不超过计算跨径l的1／1600时，可不设预拱度。

（2）当不符合上述规定时则应设置预拱度。

式中：

——预拱度值；

——结构重力产生的长期竖向挠度；

——可变荷载频遇值产生的长期挠度值。

预拱度值的计算（取值）：

例6-3已知条件与例6-1相同。

钢筋混凝土简支T梁跨中截面，使用阶段汽车荷载标准值产生的弯矩为MQ1=596.04kN·m(未计入汽车冲击系数)；人群荷载标准值产生的弯矩MQ2=55.30kN·m；永久作用(恒载)标准值产生的弯矩MG=751kN·m。试进行钢筋混凝土简支T梁跨中挠度的验算。解：在进行梁变形计算时，应取梁与相邻梁横向联接后截面的全宽度受压翼板计算，即b'f1

=1600mm，而h'f仍为110mm。（1）T梁换算截面的惯性矩Icr和I0计算对T梁的开裂截面，由式（6-11）可得到梁跨中截面为第二类T形截面，受压区高度x由式（6-12）确定：6162则开裂截面的换算截面惯性矩Icr为T梁的全截面换算截面面积A0为受压区高度x为6364全截面换算惯性矩I0为（2）计算开裂构件的抗弯刚度全截面抗弯刚度B0=0.95EcI0=0.95×3.0×104×8.76×1010=2.5×1015N·mm2开裂截面抗弯刚度Bcr=EcIcr=3.0×104×47038.1×106=1.41×1015N·mm2全截面换算截面受