《等差数列的概念及通项公式》课件

第四章

4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式课程标准1.理解等差数列的概念,理解等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1

等差数列一般地,如果一个数列从

起,每一项与它的前一项的差都等于

,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的

,公差通常用字母

表示.

顺序不能颠倒

第2项

同一个常数

公差

d名师点睛等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的单调性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)常数列是等差数列.(

)(2)等差数列的公差不能为负数.(

)(3)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(4)若数列{an}满足an+1-an=1(n>1,n∈N*),则数列{an}是等差数列.(

)√×××2.判断下列数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.(1)1,3,5,7,9,…;(2)9,6,3,0,-3,…;(3)1,3,4,5,6,…;(4)7,7,7,7,7,…;解

(1)是,a1=1,d=2;(2)是,a1=9,d=-3;(3)不是;(4)是,a1=7,d=0;(5)不是.3.[北师大版教材习题]全国统一鞋号中,成年男鞋共有14种尺码,其中最小的尺码是235mm,相邻的两个尺码都相差5mm.把全部尺码从小到大列出.解

全部尺码从小到大为235,240,245,250,255,260,265,270,275,280,285,290,295,300.知识点2

等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,

叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,

.

任意两个数均有等差中项且唯一

A2A=a+b过关自诊1.在数列{an}中,当n≥2时,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么?提示

是.当n≥2时,因为an是an-1和an+1的等差中项,所以an-an-1=an+1-an,由等差数列的定义知数列{an}是等差数列.2.试求下列各组数的等差中项:(2)(m+n)2和(m-n)2.解

7.解

m2+n2.知识点3

等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为

.

名师点睛1.等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.2.等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.an=a1+(n-1)d过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列{1-3n}的公差d=1.(

)(2)所有的等差数列都有通项公式.(

)×√×2.[人教B版教材例题]已知等差数列10,7,4,….(1)求这个数列的第10项;(2)-56是不是这个数列中的项?-40呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.解

(1)记数列为{an},则由题意知a1=10,公差d=7-10=-3,因此数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-3)=-3n+13.当n=10时,有a10=-3×10+13=-17,因此第10项为-17.(2)设-56是数列中的第n项,则-3n+13=-56,解得n=23,所以-56是数列的第23项.设-40是数列中的第k项,则-3k+13=-40,解得k=∉N*,由此可知-40不是此数列中的项.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一等差数列的通项公式及其应用【例1】

(1)已知数列{an}是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2022,则n=(

)A.504 B.505

C.506

D.507分析

可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;C解

根据题意,数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2

022,则有4n-2=2

022,解得n=506.(2)在等差数列40,37,34,…中,第一个负数项是(

)A.第13项 B.第14项C.第15项 D.第16项分析

可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;C解

设数列为{an},则由已知得首项a1=40,公差d=-3,所以an=40-3(n-1)=43-3n.因为n∈N*,所以n≥15,即第一个负数项是第15项.(3)在等差数列{an}中,若a3=12,a6=27,则{an}的通项公式为

.

分析

可根据已知条件建立关于首项a1和公差d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.规律方法

等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”.(3)等差数列{an}的通项公式可变形为an=dn+(a1-d),当d≠0时,可把an看作自变量为n的一次函数.变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:10探究点二等差中项及其应用【例2】

(1)若一个三角形的三个内角的度数成等差数列,且最小内角为30°,则最大内角的度数是(

)A.120° B.90°

C.80°

D.60°B规律方法

等差中项的应用策略(1)求两个数x,y的等差中项A,根据等差中项的定义得A=.(2)证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式训练2(1)等差数列1,2a,4a2,…的第5项等于(

)B解

因为1,2a,4a2,…成等差数列,所以4a=1+4a2,解得a=,所以这个等差数列的每一项均为1.故选B.等边三角形

探究点三等差数列的判断与证明角度1.等差数列的判断【例3】

判断下列数列是不是等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.分析

根据等差数列的定义,判断an+1-an是不是常数.解

(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.规律方法

用定义法判定数列{an}是不是等差数列的基本步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.变式训练3已知数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判断数列{an}是不是等差数列,并说明理由;(2)求{an}的通项公式.解

(1)当n≥3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2,∴{an}不是等差数列.(2)由(1)得,当n≥2时,an=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不适合上式,角度2.等差数列的证明

(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.规律方法

证明等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列的概念,等差中项的概念.(2)等差数列通项公式的推导.(3)等差数列通项公式的应用.(4)利用定义判断或证明等差数列.2.方法归纳:定义法、列方程组法、累加法、公式法.3.常见误区:(1)等差数列的下标的取值范围易出错;(2)误认为等差数列通项公式是关于n的一次函数.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1234561.(多选题)下列数列中,是等差数列的是(

)A.1,4,7,10B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22D.10,8,6,4,2ABD解析

选项A,B,D满足等差数列的定义,是等差数列;选项C中,因为24-25≠23-24,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.1234562.在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(

)A.6 B.8

C.16

D.32B解析

因为等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8.123456A.第10项

B.第11项

C.第12项

D.第21项B1234564.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0,则公差d的值为

;{an}的通项公式为