数学北京市昌平区2026年高三年级第二次统一练习(昌平高三二模)(5.6-5.9)

数学试卷参考答案及评分标准2026.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）B（4）D（5）D（6）B（7）C（8）A（9）A（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）22（12）（14）·2（15）①③④（第（13）、（14）题第一空3分，第二空2分；第（15）题答对一个给3分，答对二个给4分，答对三个给5分，错答得0分。）三、解答题（共6小题，共85分）（16共13分）解：(Ⅰ)由正弦定理……1分得……2分整理得2sinBcosAcosAsinC……3分因为ABCπ,所以sin(AC)sinB.所以2sinBcosA3sinB.………………4分因为在△ABC中，sinB0，所以cosA………………5分所以A………………6分由(Ⅰ)知A，又由题知S△ABC……………7分所以bc123.……………8分所以b=33，c=4.………………10分2所以a7.………………13分选条件③：AB边上的高为，cosC．所以sinC………………8分因为AB边上的高为，所以asinB…………12分所以a=7.…………13分）（解：(Ⅰ)在五面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，所以AB//CD.………1分因为CD丈平面ABFE，ABC平面ABFE，所以CD//平面ABFE.………2分因为CDC平面CDEF，平面ABFE平面CDEF=EF，所以CD//EF.………3分所以四边形EFCG是平行四边形.所以EG//CF.………4分所以CF//平面AEG.………5分(Ⅱ)取AD的中点O，作ON//AB，ONBC=N.因为平面ADE丄平面ABCD，平面ADE平面ABCD=AD，OEC平面ADE，所以OE丄平面ABCD.所以OE丄ON.即OE,ON,OA两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系O_xyz，则O(0,0,0),A(1,0,0),G(_1,1,0),E(0,0,2),N(0,2,0).因此AG=(_2,1,0),AE=(_1,0,2)，平面ADE的法向量ON=(0,2,0)设平面AEG的法向量为n=(x,y,z).则设平面AEG与平面AED夹角为θ,则）（解：(Ⅰ)根据题中数据可知，100名初中生中有50名学生“非常感兴趣”，………1分所以从该校初中生中随机抽取1名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为.………2分设这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件A，则事件A的概率可估计为C………5分(Ⅱ)根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了10人，则“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为2,4,4.……6分所以X的可能取值为2,4,6,8,10.……7分则PPP………9分所以随机变量X的分布列为X2468P 4545 45 45故期望E…11分(Ⅲ)sss.………14分）（解：(Ⅰ)由题意可得右顶点A(a,0)，上顶点B(0,3)，设左焦点F(_c,0).因为kFB.kAB所以，即ac=2.椭圆C的方程为，离心率为.……………6分(Ⅱ)由题可知F(_1,0).当直线l斜率不存在时，M所以FM.FN=(2,_3).(2,3)=7.……7分224当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k(x_1).……8分由可得(3+4k2)x2_8k2x+4k2_12=0.Δ=(_8k2)2_4(3+4k2)(4k2_12)=144(k2+1)>0.设M(x1,y1),N(x2,y2).则x1+xx1x……………10分因为FM=(x1+1,y1),FN=(x2+1,y2)，……………11分所以FM.FN=(x1+1,y1).(x2+1,y2)2)+y1y2+1k2因为k2≥0，所以所以……………14分综上所述，FM.FN的取值范围为……………15分）（解：(Ⅰ)因为f(x)=ex_x2_ax，所以f,(x)=ex_2x_a.……………1分所以f,(0)=1_a.……………2分因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y_1=0垂直，所以1_a=2.……………3分所以a=_1.……………4分x_2x_a.因为函数f(x)在R上单调递增，所以f,(x)≥0在R上恒成立.x_2x在R上恒成立.……………5分设g(x)=ex_2x.则g,(x)=ex_2.……………6分当x∈(ln2,+∞)时，g,(x)>0，g(ln2)=eln2_2ln2=2_2ln2.所以g(x)的最小值为2_2ln2.……………8分所以a的取值范围为(_∞,2_2ln2].……………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当a∈(2_2ln2,+∞)时，函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2，不妨设x1<x2.所以x1,x2是方程ex_2x_a=0的两个解.即ex1_2x1_a=0，ex2_2x2_a=0.……………10分所以ex2_ex1=2(x2_x1).所以ex1+t_ex1=2t，即ex1(et_1)=2t.所以ex……………11分et所以ex1+ex……………12分设h(t)=t(et+1)_2(et_1)，所以h,(t)在(0,+∞)上单调递增.……………13分所以h(t)在(0,+∞)上单调递增.……………14分所以t(et+1)_2(et_1)>0.即成立.所以ex1+ex2>4.……………15分）（解：(Ⅰ)card(φ(A,A))=5；card(φ(B,B))=6；card(φ(A,B))=7.……3分i▽i,j,i,,j,∈{0,1,2,,n_1}，若2ii,+2j,，则2i_2i,=2j,_2j.①当i=i,时,j=j,；同理，当j=j,时,i=i,.即i=i,与j=j,同时成立.或两者之一成立.lj<j.llj<j.则2i,(2i__i,则2i,(2i__i,_1)=2j(2j,_j_1).不妨设lj>j.所以i,=j且i_