全品高考备战2027年数学一轮学生用书17重点强化练(十七)随机变量及其分布【正文】

重点强化练(十七)随机变量及其分布一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.1.[2025·福建部分优质高中4月模拟]随机变量X的分布列如表格所示,其中2b=a+c,则b等于 ()X-101PabcA.13 B.C.12 D.2.一批产品根据质量指标分为正品和次品,且次品率为13,随机抽取1件产品,定义X=1,抽到正品,0,抽到次品,则随机变量X的方差D(X)=A.23 B.5C.49 D.3.有10件产品,其中3件是次品,从中不放回地任取2件,若X表示取得次品的件数,则P(X<2)= ()A.715 B.8C.1415 D.4.某机场进行数据分析,发现航班延误小时数Y与航班起飞前雷暴雨发生时间X(单位:小时)存在一定关系,具体数据如下表:X0<X<11≤X<22≤X<3X≥3Y1344.5根据机场多年数据统计,X小于1,2,3的概率分别为0.4,0.7,0.9,若某航班起飞前已经发生了1小时雷暴雨,则其延误时间不超过4小时的概率为 ()A.13 B.1C.23 D.5.抛掷一枚质地均匀的硬币8次,若正面朝上k次的概率最大,则k= ()A.4 B.5 C.6 D.76.[2025·江西红色十校联考]某百货商场为促销举办抽奖活动,设有两种奖券:甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4,每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5,每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券,再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次,且其中有1张甲奖券中奖,则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为 ()A.0.12 B.0.2C.0.25 D.0.327.[2026·安徽皖南八校联考]已知随机变量X,Y均服从正态分布,其中X~N(0,1),且X+2Y=2,设函数F(x)=P(|Y-2x|<1),则F(x)的图象大致为 () A B C D8.我们知道,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X服从二项分布,记作B~(n,p).事实上,在无限次伯努利试验中,另一个随机变量的实际应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,我们称Y服从“几何分布”,经计算得E(Y)=1p.由此推广,在无限次伯努利试验中,试验进行到事件A和A都发生后停止,此时所进行的试验次数记为Z,则P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1,k=2,3,4,…,那么E(Z)= (A.11-p2 C.1p(1-p)二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.[2026·南通9月调研]设样本空间Ω={1,2,3,4},已知事件A={1,2},B={1,3},C={1,4},则 ()A.A与B互斥B.B与C相互独立C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)D.P(A|C)=P(C|A)10.某老旧小区进行设备节能改造工程,小区内共有400户,其中大户型有250户,其余均为小户型.现采用比例分配的分层随机抽样的方法选取80户来统计节能效果,结果显示抽取的a户大户型平均每月可节约用电12度,抽取的b户小户型平均每月可节约用电8度.已知该小区所有住户每月可节约用电的度数X近似服从正态分布N(μ,9),μ近似为样本均值,则(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973) ()A.a=50,b=30B.μ=11.5C.P(10.5≤X≤13.5)≈0.4772D.该小区每月可节约用电的度数低于4.5的约有9户11.[2025·浙江北斗星盟三模]在足球训练课上,A,B两位同学进行“点球”比赛,规则为:比赛共进行5轮,在每轮比赛中,两人各罚点球一次,射中得1分,射不中得0分.已知A,B每次点球射中的概率分别为PA,PB,(PA,PB∈(0,1)),若5轮比赛后A,B的总得分分别为XA,XB,则下列结论正确的是 ()A.若E(XA)<E(XB),则PA<PBB.P(XA=XB=3)≠P(XA∶XB=2∶3)C.若0<PA<PB<12,则D(XA)<D(XBD.若当且仅当k=2时,P(XA=k)(k=0,1,2,3,4,5)取得最大值,则13<PA<三、填空题:本题共3小题.12.离散型随机变量X的分布列为P(X=n)=an+n+1(n=1,2,…,15),a为常数,则13.[2025·福州高级中学模拟]现有两个罐子,1号罐子中装有3个红球、2个黑球,2号罐子中装有2个红球、3个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子,再从2号罐子中取出一个球,则从2号罐子中取出的球是红球的概率为.

14.甲、乙两人进行羽毛球比赛,采用五局三胜制(每局比赛没有平局,先胜三局者赢得比赛且比赛结束).第一局甲获胜的概率为35,之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响,设甲每局比赛获胜的概率为pi(i=1,2,3,4,5),其中p1=35,若甲上局获胜,则甲下一局获胜的概率比上局获胜的概率更大且满足pi+1=pi+p(p>0),若甲上局未获胜,则甲下一局获胜的概率为pi+1=pi-p.若甲、乙三局结束比赛的概率为57125四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.[2026·济南模拟]有四个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,将这些小球随机排成一列.(1)求标有数字2和4的小球不相邻的概率;(2)一个排列中,若两个相邻小球上的数字之和为5,则称这两个小球为一组“友好球”,设X表示排列中“友好球”的组数,求X的分布列和数学期望.16.[2025·苏州三模]现有甲、乙两台机器生产一批零件,甲生产出的零件内径X(单位:mm)服从正态分布N(10,1),乙生产出的零件内径Y(单位:mm)服从正态分布N(8,4).(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2,且两台机器工作状态相互独立.设一天内发生故障的机器台数为Z,求Z的分布列.(2)若生产出的零件内径小于8mm,则每件亏损2元;若内径大于10mm,则每件亏损8元;其余尺寸的零件,则每件获利20元.已知每天每台机器生产1000件零件,试比较哪一台机器每天生产出的零件的平均利润更大.附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545.17.某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动.(1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自A中学,从这7名中学生中选取3名中学生,求选取的中学生中来自A中学的人数X的分布列和数学期望.(2)在夏令营活动中,物理学科夏令营举行了一次学科知识竞答活动