全品高考备战2027年数学一轮学生用书18重点强化练(十八)概率分布中的决策类问题【答案】

重点强化练(十八)概率分布中的决策类问题1.解:(1)设小明选择方案一获得奖金的概率为P1,则P1=ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)+abc=ab+ac+bc-2abc.设小明选择方案二获得奖金的概率为P2,则P2=C22C32ab+C22C32ac+C2(2)小明应选择方案一.理由如下:由(1)得P1-P2=ab+ac+bc-2abc-13(ab+ac+bc)=23(ab+ac+bc)-2abc=23(ab+ac+bc-3abc)=23(ab-abc+ac-abc+bc-abc)=23[ab(1-c)+ac(1-b因为a,b,c∈(0,1),所以1-a,1-b,1-c∈(0,1),即P1-P2=23[ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)]>0,则P1>P2故小明应选择方案一.2.解:(1)易知X的可能取值为4,7,10,P(X=10)=56×45×12P(X=7)=16×15×12+56×15×12+16P(X=4)=1-13-16=所以X的分布列为X4710P111所以E(X)=13×10+16×7+12(2)若小王同学选择方法2参加比赛,则小王同学得分Y的可能取值为4-m,7-m,10-m,P(Y=10-m)=56×45×12+nP(Y=7-m)=16×15×12+n+56×15×12+n+1P(Y=4-m)=1-13+2n3-1则E(Y)=13+23n×(10-m)+16+13n×(7-m当E(Y)<E(X),即132-m+5n<132,即m>5当E(Y)>E(X),即132-m+5n>132,即m<5n时,选择方法2;当E(Y)=E(X),即132-m+5n=132,即m3.解:(1)设甲正确回答M1类问题为事件A,正确回答M2类问题为事件B,则P(A)=0.5,P(B)=0.6.X的可能取值为0,20,30,50,P(X=0)=P(A∩B)=[1-P(A)]·[1-P(B)]=0.5×0.4=0.2,P(X=20)=P(A∩B)=[1-P(A)]·P(B)=0.5×0.6=0.3,P(X=30)=P(A∩B)=P(A)·[1-P(B)]=0.5×0.4=0.2,P(X=50)=P(A∩B)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3,所以X的分布列为X0203050P0.20.30.20.3所以E(X)=0×0.2+20×0.3+30×0.2+50×0.3=27.(2)设甲正确回答M3类问题为事件C,则P(C)=0.8.设甲从M1,M3两类问题中各抽取一个问题回答的累计得分为X1,则X1的可能取值为0,10,30,40,P(X1=0)=P(A∩C)=[1-P(A)][1-P(C)]=0.5×0.2=0.1,P(X1=10)=P(A∩C)=[1-P(A)]×P(C)=0.5×0.8=0.4,P(X1=30)=P(A∩C)=P(A)·[1-P(C)]=0.5×0.2=0.1,P(X1=40)=P(A∩C)=P(A)·P(C)=0.5×0.8=0.4,所以X1的分布列为X10103040P0.10.40.10.4所以E(X1)=0×0.1+10×0.4+30×0.1+40×0.4=23.设甲从M2,M3两类问题中各抽取一个问题回答的累计得分为X2,则X2的可能取值为0,10,20,30,P(X2=0)=P(B∩C)=[1-P(B)][1-P(C)]=0.4×0.2=0.08,P(X2=10)=P(B∩C)=[1-P(B)]×P(C)=0.4×0.8=0.32,P(X2=20)=P(B∩C)=P(B)·[1-P(C)]=0.6×0.2=0.12,P(X2=30)=P(B∩C)=P(B)·P(C)=0.6×0.8=0.48,所以X2的分布列为X20102030P0.080.320.120.48所以E(X2)=0×0.08+10×0.32+20×0.12+30×0.48=20.结合(1),因为20<23<27,所以甲应该从M1,M2两类问题中各抽取一个问题回答.4.解:(1)按A→B→C的顺序答题,X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=p1,P(X=2)=(1-p1)p2,P(X=3)=(1-p1)(1-p2),所以X的分布列为X123Pp1(1-p1)p2(1-p1)(1-p2)(2)小张考试通过的概率不受答题顺序的影响,理由如下:由题意,小张没有通过考试的情况只有三类问题全部答错,所以小张考试通过的概率均为1-(1-p1)(1-p2)(1-p3).(3)应按A→B→C的顺序答题,理由如下:由0<p3<p2<p1<1得,1-p1>0,1-p2>0,1-p3>0,p2-p1<0,p3-p1<0,p3-p2<0.若按A→B→C的顺序答题,设X1为此时小张的累计答题数目,由(1)得E(X1)=1×p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)=3-2p1-p2+p1p2.若按A→C→B的顺序答题,设X2为此时小张的累计答题数目,则P(X2=1)=p1,P(X2=2)=(1-p1)p3,P(X2=3)=(1-p1)(1-p3),所以E(X2)=1×p1+2(1-p1)p3+3(1-p1)(1-p3)=3-2p1-p3+p1p3,则E(X1)-E(X2)=(3-2p1-p2+p1p2)-(3-2p1-p3+p1p3)=p3-p2-p1(p3-p2)=(1-p1)(p3-p2)<0,则E(X1)<E(X2).若按B→A→C的顺序答题,设X3为此时小张的累计答题数目,同理可得E(X3)=3-2p2-p1+p2p1.若按B→C→A的顺序答题,设X4为此时小张的累计答题数目,同理可得E(X4)=3-2p2-p3+p2p3,则E(X3)-E(X4)=(1-p2)(p3-p1)<0,则E(X3)<E(X4).若按C→A→B的顺序答题,设X5为此时小张的累计答题数目,同理可得E(X5)=3-2p3-p1+p3p1.若按C→B→A的顺序答题,设X6为此时小张的累计答题数目,同理可得E(X6)=3-2p3-p2+p3p2,则E(X5)-E(X6)=(1-p3)(p2-p1)<0,则E(X5)<E(X6).所以累计答题数目的期望的最小值是E(X1),E(X3),E(X5)中的最小值.E(X1)=3-2p1-p2+p1p2=3-p1-p2+p1p2-p1,E(X3)=3-2p2-p1+p2p1=3-p2-p1+p2p1-p2,所以E(X1)<E(X3).E(X3)-E(X5)=(3-2p2-p1+p2p1)-(3-2p3-p1+p3p1)=3-2p2-p1+p2p1-3+2p3+p1-p3p1=(p2-p3)(p1-2)<0,所以E(X3)<E(X5),所以E(X1)<E(X3)<E(X5),所以应按A→B→C的顺序答题.5.解:(1)由题得X的可能取值为16,17,18,19,20,P(X=16)=20100×20100=P(X=17)=2×20100×30100=P(X=18)=30100×30100+2×20100×50P(X=19)=2×30100×50100=P(X=20)=50100×50100=故X的分布列为X1617181920P132931(2)因为P(X≤18)=4+12+29100=920<12,而P(X≤19)=4+12+29+30100=所以n的最小值为19.(3)若X≤n,则Y=300n-100(n-X)=200n+100X,若X>n,则Y=300n+800(X-n)=800X-500n.若n=16,则Y1的可能取值为4800,5600,6400,7200,8000,故Y1的分布列为Y148005600640072008000P132931此时E(Y1)=4800×125+5600×325+6400×29100+7200×310若n=17,则Y2的可能取值为5000,5100,5900,6700,7500,故Y2的分布列为Y250005100590067007500P132931此时E(Y2)=5000×125+5100×325+5900×29100+6700×310若n=18,则Y3的可能取值为5200,5300,5400,6200,7000,故Y3的分布列为Y352005300540062007000P132931此时E(Y3)=5200×125+5300×325+5400×29100+6200×310若n=19,则Y4的可能取值为5400,5500,5600,5700,6500,故Y4的分布列为Y454005500560057006500P132931