2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 函数的单调性与最值

第三章函数第2讲

函数的单调性与最值借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上____________当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上____________1．函数的单调性(1)定义单调递增单调递减图象描述自左向右看图象是_________自左向右看图象是_______增(减)函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数上升的下降的(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_________，区间D叫做y＝f(x)的__________．单调性单调区间前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的______M为函数y＝f(x)的________最大值2．函数的最值最小值3．对勾函数1.(多选)(人教A必修第一册习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(

)A．f(x)在[－4，－1]上单调递减B．f(x)在[－1，3]上单调递增C．f(x)的单调递减区间是[－4，－1]∪[1，3]D．f(x)的最小值为－2，最大值为3解析：结合函数图象易知，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，f(x)min＝f(－1)＝－2，f(x)max＝f(1)＝3，故A，D正确，B错误；f(x)的单调递减区间是[－4，－1]和[1，3]，故C错误．故选AD.3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(

)A．f(m)<f(1) B．f(m)>f(1)C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1)解析：因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1<0，得m<1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)>f(1)．故选B.－25．(人教A必修第一册复习参考题3T4改编)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上具有单调性，则a的取值范围是___________________．解析：函数y＝－2x2－4ax＋3图象的对称轴为直线x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4.故a的取值范围是(－∞，2]∪[4，＋∞)．(－∞，2]∪[4，＋∞)核心考向突破考向一

判断函数的单调性(单调区间)角度1定义法确定函数的单调性

定义法判断函数单调性的步骤

已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，都满足f(x)＋f(y)＝f(xy)＋3，且当x∈(0，1)时，f(x)<3.根据定义，研究f(x)在(0，＋∞)上的单调性．角度2图象法、性质法确定函数的单调性(1)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2)C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞)[2，＋∞)(－∞，－3]1．图象法判断函数的单调性如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．2．判断函数的单调性常用的性质(1)对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性进行判断．(2)对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断．2．求函数f(x)＝|4－x|·(x－1)的单调区间．

考向二函数单调性的应用角度1利用函数的单调性比较大小

利用函数的单调性比较大小的思路已知下面的三个条件中任意两个都能推出第三个．①函数f(x)在某个区间上的单调性；②在这个区间上的任意两个自变量x1，x2的大小；③在这个区间上的任意两个函数值f(x1)，f(x2)的大小．提醒：若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较．

利用函数的单调性解不等式的步骤(1)将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式；(2)确定函数f(x)的单调性；(3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式，从而得解．(2025·广东佛山模拟)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f(2a－1)<f(2－a)，则实数a的取值范围是(

)A．(1，2) B．(－∞，1)C．(0，1) D．(1，＋∞)

利用函数的单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．考向三函数的最值(值域)问题(－1，1]1(3)(2025·广西柳州模拟)记实数x1，x2，…，xn的最小数为min{x1，x2，…，xn}，若f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}，则函数f(x)的最大值为________．

函数的最值(或值域)的几种求解方法(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(3)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出