大学文科数学学习体会 (一)

大学文科数学学习体会

——从“定”到“变”

摘要、

中学时期学习数学更多关注的是数学运算与技巧，有些情

况卜甚至仅仅是对公式的记忆和简单应用，对很多知识缺少系统

的认识，数学与实际生活的联系及应用更是少之又少。经过这一

学期对大学文科高等数学的学习，中学时期留下的很多困惑都不

复存在了，感觉数学的实用性更强了，对一些数学方法与数学思

想有了更深的理想。

关键词:极限、微分、积分

正文•.

高中的时候就曾经接触过极限，但只是有一个基本的了解,

记住基本的四则运算规则就可以了，没有太多要求，因此也没有

在这方面进行更多学习和了解。知道大学再次接触这个概念，从

以前的定性判断到现在的定量描述，突然觉得眼前明朗起来。明

确清晰地极限定义不仅让我更加确认极限是数学家族不可或缺

的重要成员，也让我体会到了数学逻辑的严谨之美。有了极限的

定义才有了数列的极限，函数的极限，函数的连续性与可导，或

者说正是由于在实际问题中对函数的连续及可导等性质的要求，

才有了极限的定义。但无论如何，极限是连续与可导的基础。

以极限为基础的变量数学的存在，使很多初等数学无法解决的问

题有了答案,最典型的，就是求变速运动的瞬时速率了•若是从初

等数学来看,是很难解释的，但如果运用极限的思想，将某段位移

无限分割，当△$一()时,便可以将那一段位移内的运动看作匀速

运动，问题就在简化中得到了解决。可以说是极限沟通了初等数

学与变量数学，使二者在关键时刻进行华美的转变。很多困扰我

们的问题也在初等数学与变量数学的完美结合中得到了解决。对

极限的学习也使我对从前感到陌生的数学式有了新的理解。例如

Lim(G)=0,可以理解为f(x)=^~['g(x)=当x无限趋近

于正无穷时，f(x)与g(x)的图像无限接近。

导数的定义是建立在极限概念的之上的，即Ay/Ax=a(Ax->0),

函数可导。对于导数，大学数学在中学的基础上做了延伸，提出

了高阶导的概念。就目前所学的知识，我还不是很清楚三阶导、

四阶导的真正含义与应用到底是什么，但对于二阶导的学习让我

对函数性质以及函数图象有了更深认识。对一个原函数，它的一

阶导数可以让我们认识函数的单调性，是否存在极值点以及若存

在极值是什么。但这还不能让我们完整地将一个函数的草图绘出

来，原函数的二阶导数则对此作出了补充。当一阶导数为0时，

我们可由原函数的二阶导数的正负来判断原函数在某一点的值

是极大值还是极小值。对于函数的凹凸性，二阶导数也作出了极

好的说明。当二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数

为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为。时，若两侧异号，

则是图象拐点。再联系极限的知识，找出函数的渐近线，综合函

数的对称性、周期性等就可以大制作出函数的图象，从而对函数

的变化过程有一个更加直观的了解。

当然，说到导数便不得不联系微分，而微分在近似计算中是

很好的工具。如求在应可以将此问题函数化，即把它看成f(x)=

姮在x=l,△xtO.OZ时的近似值问题。我们已经知道f(x)的微分是

函数该变量的线性化，因此可以以此为数学模型，则有△y^dy二A

△x,A为f(x)的一阶导数。即.02=3)+人)〜f(x0)+伊(xO)△

x=f(1)+f(l)*0.02^1.0067.

中学数学学习中，也曾经接触过几类数学思想，大致有图像法,

极限思想，函数思想，排除法，化归思想。对于很多方法，我们都是

在无意识的使用，而在学习换元积分方法的过程中，转化的思想得到

了充分的体现。第一换元积分法是将用直接积分法不易求得的不定积

分由微积分定义得夕口)=的⑴做变量代换”=叭、)

的被积函数分解为这

ff(x)dx\f\(p{x}V(p\x)dx=J/[奴幻]力0。)]=JgW)du

样就把关于积分变量X的不定积分转化为关于新积分变量U的不定

积分。从而化难为易，化未知为已知。第二换元积分法更是化归的典

型。对于用直接积分法或第一换元积分法不易求得的不定积分

“⑺公可作变量代换⑺，将其转化为容易求得的关于新积分变量

t的不定积分。即在f(x),o(x)，及“(x)均连续，且少(x)'°’又加⑺

Jf{x}dx=/〃式。卜(p\t)dt=F⑴+C=F[(p}(x)]+C

存在原函数F(t)的情况下，J/(x)公・=]/[*)]夕⑺力=Fa)+C=F["(x)]+C

这种转化正是关系映射反演方法的应用。对一个较复杂的原问题

S,其中待求量X不易求得，通过变换将原问题S转化为较简单的

新问题S*,X转化为X*,从S*较易求得x*,而后按照一定逆变

化从x*中解出x,从而使问题间接得到解决。关系映射反演方

法的实质就是化归方法，是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为

简，化难为易，化未知为己知。其实这种方法不仅应用在数学中，

还可以广泛的应用在生活中的各个方面。说到底，就是将一个复

杂的问题转化为一个简单的问题来解决。

中学数学主要解决的是直线问题，而微积分的学习使很多

曲线问题迎刃而解。最主要的就是求曲边图形的面积。可以先将

曲线函数化为f(x),g(x),用定积分来表示曲边图形的面积。类似的

还可以用微积分求得旋转体的体积。

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