第二十三章 一次函数（6大考点＋7大题型＋分层训练）（复习讲义）（原卷版）

第二十三章一次函数（复习讲义）1.了解一次函数及正比例函数的意义，体会表达式、图象与性质之间的整体联系，明确常数k（决定倾斜方向与增减性）和b（决定与y轴交点）的几何意义。2.能用待定系数法（设、代、解、写）求一次函数解析式，能根据k>0或k<0判断函数的增减性，并规范画出函数图象。3.理解并利用一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系解决问题，能建立函数模型分析行程、利润、方案选择等实际问题，避免忽略k≠0的条件与建模错误。知识点01函数的概念在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。知识点02一次函数的表达式形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数。知识点03一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(-bk,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)知识点04一次函数的实际应用利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。知识点05二元一次方程组与一次函数的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，对应的x的值就是一元一次方程的解。y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.知识点06利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.(3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合.(4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合.题型一一次函数的图象和性质【例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，下列说法不正确的是（

）．A．y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第二象限C．当时， D．函数图象与y轴交点坐标为【变式1-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于直线，下列说法正确的是（

）A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数，下列结论正确的是（）①函数的图象与轴的交点坐标是②函数的图象经过第一、二、四象限③若两点在该函数图象上，且，则④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象A．① B．② C．③ D．④【变式1-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（

）A．B．一次函数的图象经过点C．对于一次函数，当时，D．若点，均在一次函数的图象上，则题型二利用一次函数的性质求解【例2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若点在一次函数图象上，则（填，或）．【变式2-1】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则的长为．【变式2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值是．【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数．（1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是．（2）当时，函数y有最大值，则m的值为．题型三求一次函数的表达式【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点.(1)求一次函数的表达式；(2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式.【变式3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若点在这个函数的图象上，求m的值．【变式3-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．(1)求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式；(2)当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？【变式3-3】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示．(1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息）(2)探究与之间的关系表达式．题型四画一次函数的图象【例4】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数的图象的过程．列表：x…01…y…__________________…描点并连线：请根据上面的信息回答问题：(1)补全表格中y对应的值．(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象．(3)若点在函数的图象上，求出m的值．【变式4-1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，．(1)请直接写出，两点坐标：：______，：______；(2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）；(3)点是一次函数上一动点，则的最小值为______．【变式4-2】（24-25八年级上·山东济南·期中）已知一次函数x1y(1)将下面的表格补充完整，然后在方格纸上描出下面表格中以x，y的值为坐标的两个点，并画出函数的图象：(2)根据图象回答下面的问题①y的值随x的值的增大而______；②设图象与x轴、y轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标是______；③原点O到直线的距离为______；将直线向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为：______．【变式4-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题．(1)列表：…01234……1abc01…表中，，；(2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象；(3)观察：观察图象，归纳一下两条性质：图象关于直线对称；根据所画的图形可以发现该函数有最值（填“大”或“小”），该值是；(4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为．题型五一次函数与方程（组）、不等式【例5】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（

）A．的面积为3B．方程组的解为C．点D的坐标为D．当时，【变式5-1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点．(1)求出______；______．(2)求方程组的解．(3)请直接写出的解集．【变式5-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点．(1)关于的方程的解是________；(2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______；(3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______．【变式5-3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．(1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解；(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；(3)求的面积；(4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段CD的长为3，直接写出a的值．题型六一次函数的实际应用【例6】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现从，向甲、乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜市场各有蔬菜吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从到甲地运费元/吨，到乙地元/吨；从地到甲运费元/吨，到乙地元/吨．(1)设地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)(2)设总运费为元，请写出与的函数关系式．运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)【变式6-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别是30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨．(1)如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．(2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费．【变式6-2】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案：方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售；方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠．设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款元，按方案二购买需付款元，已知关于x的函数图象如图所示．(1)a的值为，b的值为．(2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围．(3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值．【变式6-3】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：(1)张强返回时的速度是米/分；妈妈比按原速返回提前分钟到家．(2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式．(3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间．题型七一次函数与几何图形的综合【例7】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、．(1)求点A、B的坐标；(2)若点在轴上，且，求点的坐标．【变式7-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5．(1)点B的坐标为________，点C的坐标为________；(2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标．【变式7-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．(1)求A、B两点的坐标；(2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；(3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标．【变式7-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．

(1)求点的坐标；(2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；(3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数的是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或）6．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是________．7．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________．8．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________．三、解答题9．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线经过点，．(1)求该直线的函数解析式；(2)求该直线与x轴交点C的坐标；(3)关于x的不等式的解集是________．10．（25-26八年级下·山东济南·期中）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同．(1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元；(2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？11．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接．(1)求直线和的函数表达式；(2)当x取何值时，?(3)求的面积．12．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且．(1)求、的坐标；(2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，下列说法不正确的是（

）A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为22．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（

）A． B．C． D．3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（

）A．B．C．D．4．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题5．（25-26八年级下·北京·期中）若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______．6．（2026·辽宁·一模）为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______．7．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________．8．（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______．三、解答题9．（25-26八年级下·湖南常德·期中）一次函数的图象过，两点．(1)求函数的表达式．(2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由．10．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元．(1)求A、B两种笔记本的单价；(2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用．11．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠．方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示．(1)求和b的值，并说明它们的实际意义；(2)求的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由．12．（25-26八年级下·海南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线．(