大学《高等数学》极值的方法与技巧

求极值的方法与技巧

极值一般分为无条件极值和条件极值两类。

无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；

条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极

值问题。

一、求解无条件极值的常用方法

1.利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型

定理1(充分条件)设函数在点(孙川)的某邻域内连续且有一阶及二阶连

续偏导数，又赤(项),.vo)=O,亦(xo,yo)=O,令

向(xo,yo)=A,fiy(x^.yo)=B,&Qo,w)=C,

则/(见)，)在(xo,yo)处是否取得极值的条件如卜.：

⑴AC-)〉。时具有极值，且当A<()时有极大值，当A>()时有极小值；

(2)4C-序<()时没有极值；

(3)AC-4=0时可能有极值，也可能没有极值。

极值的求法：

第一步解方程组以1,)，)=0,%Q,)，)=0,求得一切实数解，即可得一切驻点。

第二步对于每一个驻点(油,/)，求出二阶偏导数的值A、8和C。

第三步定出AC-的符号，按定理1的结论判定;Uo,yo)是否是极值、是极

大值还是极小值。

应注意的几个问题：

⑴对于二元函数z=/U,)，),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法，但

是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；

(2)AC-"=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论；

⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值

点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。

例1求函数z=(£+)，2)e"•目的极值。

&

-

令

解z

、ax

a-z2=o

ay

得驻点(0,0)及f+),2=].

又由H-[2(1-V一3/)一4/(1―一―y2)]/(­)

dx-

—=-4xy(2-x2-V育"+声

dxdy

?4=f2(l-x2-3y2)一厅(1-x2-Vm…)

斯

A=^2-AC=-4<0,A>0

故/(0,0)=0为极小值。

A=B2-AC=O,此时有通常的方法无法判定。

令X2+y2=t(t>0),则z=tp~l,由-e~s(1—/)=0

dt

得驻点Z=1.

又《=(/-2Xz|=-e-'<0

"日lz=，

故z=te-1在I=1处取极大值，即函数z=(M+)a%-*+川在圆周f+)/=]上取极

大值z=e

2.对于三元及更多元的函数定理1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三

元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。

定义1设〃元函数=在X=(卬J…,匕)%川的某个邻域内

记守(X)/理上，加，….空

有一阶、二阶连续偏导数。守(X)称为

(亚加风)

函数/(X)在点X=*X2,…,乙),处的梯度。

定义2满足守(X0)=0的点X。称为函数/(X)的驻点。

(d2f(X)d2f(X)d2f(X)}

oxfdxdx

定义3"(X)/等乎］={2

dxdx

、JZnxnd2fWd2f(X)d2f(x)

<加3*dxndx2M)

称为函数/(X)=…5)在点XG称处的黑塞矩阵。显然”(X)是由/(X)

的个二阶偏导数构成的〃阶实对称矩阵。

定理2(极值存在的必要条件)设函数/(X)在点Xo=(x；，E，…，引尸处存在一阶

偏导数，且X。为该函数的极值点，则守(X0)=0。

定理3(极值的充分条件)设函数/(X)在点X0w*的某个邻域内具有一阶、二阶

连续偏导数，且可(4)/迫”或皂耳…，妈口=0

I阴取2况)

则(1)当”(X。)为正定矩阵时，/(X。)为/(X)的极小值

(2)当”(X。)为负定矩阵时，/(Xo)为f(X)的极大值

⑶当”(X。)为不定矩阵时，/(Xo)不是/(X)的极值。

应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定

的局限性，因为充分条件对正定和负定的要求是徨严格的，若条件不满足,那结论

就不一定成立.

例1求三元函数/Cr,y,z)=x2+2y2+3z2+2x+4y-6z的极值。

解先求驻点，由

/v=2x+2=0

«/、.=4y+4=0得x=-l,y=_l,z=l

f.=6z-6=0

所以驻点为兄(-1，-11)。

再求(Hessian)黑塞矩阵

因为.九二2,工,=0,.九=0,(、,=4,4,=0,人=6

-200一

所以"=040,可知H是正定的，所以/([,y,z)在4(-1,-1,1)点取得极小

006

值：/(-1,-1,1)=-6.

当然，此题也可用初等方法fa，y,z)=a+l)2+2(y+l)2+3(z-1)2-6求得极小值

-6,结果一样。

二、求解条件极值的常用方法

1.代入法化为无条件极值问题

从一道错误的例题谈条件极值的代入法⑴(这里全文引用)

同济大学出版的教材(高等数学(第二版下).上海:同济大学出版社，1998.8)在介

绍条件极值时举了这样的一道例题：

“例10:某公司的两个工厂生产同样的产品，但所需成本不同，第一个工厂生产x

单位产品和第二个工厂生产y单位产品时的总成木是

C(x,y)=V+2y?+50+700。若公司的生产任务是500个单位产品，问如何分配

任务才能使总成本最小？

解：根据题意，是求函数C*,y)=f+2>2+5个+700在在条件x+),=500下的极

值。作辅助函数F(x,y)=x2+2y2+5x)，+700++y-500)

Fx=2工+5y+4=0

令,K=4)，+5x+/l=0,解得x=125,y=375,所以根据题意知，当第一个工厂生

x+y=500

产125个单位产品、第二个工厂生产375个单位产品时总成本最小。”

上述解法,粗看起来好象没有什么毛病，但却是经不起推敲的。简单的验证可知,

本例求出的总成本为0(125,375)=531950,但却不是最小，譬如

C(5OO,0)=250700,就比求得的“最小值”小了一半还要多！事实上，点(125,375)

不是最小值点，而是最大值点。究其原因,主要是解题方法选择不当造成的。我们

知道,求解自变量不超过三个的条件极值问题，既可以用拉格朗日乘数法，也可以

用代入法。用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦。对这个

问题，几乎所有的教材都没有作出正面的回答，只指出了用这种方法求出的极值

点是“可能的”极值点，“至于如何确定所求得的点是否为极值点,在实际问题中

往往可根据问题本身的性质来判定”。然而许多实际问题中，根据问题本身的性质

却无法确定究竟是极大还是极小。在这种情况下,采用代入法则可以有效地解决

极值点的判定问题。本例中，由于总成本究竟是最小还是最大并不好判定，因而采

用代入法求解就可以避免产生上述的错误。

若令)，=500-%并代入目标函数C(x,y)=V42)，+5xy+700中，可得总成本

C=-2x2+500^:+500700(0<x<500),于是问题转化为求函数

C=-2x2+500^+500700在区间［0,500］上的最小值。

由C=-U+500,可得惟一驻点k125(显然是极大值点)，计算该驻点及两端点

处的函数值，有C(125)=531950C(0)=5007006(500)=250700

比较即知x=500是所求之最小值点，此时y二0。即把500个单位产品的生产任务

都分配给第一个工厂生产时总成本最小。

应注意的几个问题：

⑴在讨论二元函数z=/(x,y)在约束条件g(x,y)=0的极值问题时，如果由

g(x,y)=0能解x(或)3就把求二元函数的条件极值转化为求一元函数的极值了。

使用代入法时，减少了变量，给判别极值带来了方便，但有时在约束条件

g(x,y)=0中不易将X(或)y解出，使用这种方法就困难了。

⑵我们知道在求解约束条件比较简单的条件极值问题时，既可以用拉格朗日乘数

法，也可用代入法,但在用代入法求解时，如果不注意代入的条件，则可能导致不完

整甚至错误的解答⑶。

例如求〃=Y+y2+z2在f—z2=l条件下的极值。用代入法求解时,如果将

2222

z=x-\代入W=x+/+Z式，则得〃=2/+),2_1,通过求解方程组

u'.=4x=0

“:C得X=0,V=°，但将X=0代入X?-z?=1时，Z无解。因而

Uy=2y=0

u=f+y2+z2在f-Z?=1条件下似乎无极值。但如果用拉格朗日乘数法，则可得

到二个可能的极值点，分别为(1,0,0)与(-1Q0),且通过几何意义(乃是求原点到柱面

一一Z?=1的最短距离)不难得出(1,0,0)与(-1,0,0)都是极小值点，极小值都是L

原因是求〃=/+),2+z2在f—z2=］条件下的极值时，X的取值范围是

(-00,-1］UU，X°)，而将Z?=/_］代入〃=/+),2+22,求〃=2上2+),2_］的极值时,

X的取值范围已是(-00.+00)O

2.更一般的方法是利用拉格朗日乘数法求解

“乘数法''所得到的点只是可能的极值点,到底是否是极值点以及其类型要依

据拉格朗日函数尸的二阶微分的符号来判断.

例求函数"=x"'y"z，在条件x+y+z=a(〃7>0,〃>0,〃>0,。>0)下的极值.

分析:通过求简单函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法,是在实际解题

中经常使用的.

解v=Inw=mInA+nIny+〃lnz+%(x+y+z-a)

F；=-+2=0manapa

令,y得驻点P

、m+〃+〃'+〃+〃,

F：=-^+/l=0

z

x+y+z-a=0

又由R=-乌，耳=-乌，用=—gF；=F：:=F：z=0

xyyz

d2F(x,y,z)<0

p

故P为y即”的极大值点，此时u\=二.

p(m+n+p)。

3.运用梯度法求条件吸值⑵

将梯度法用于求条件极值的问题。方程组

g『adf(5，/，•••，&)=Z4(X，W，•••，王)

M的解，就是所求极值问题的可能极

0区,々一・,工)=0,(，=1,2「・・,〃-1)

值点。

例1.试求〃个正数,其和为定值/的条件下,什么时候乘积最大,并证明

亦获五《，a+々+…+X”)

■n

证明:本题的实质是求y=/(石,孙…，/)=中2…覆在条件X+七+…+”"=/下

的最大值问题。根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。

々+•••+%〃-0

Vgrad(xxx2•••/)=

玉+々+…+土=1

进一步求解得

{23…4,中3…元,X]/…%}=义{LL…，1}

X+x>+•••+=I

容易得到

与二元~.=%=,，根据题意，则已」,…,n是唯一的极大值点，也是最大值

n\nnn)

点。所以，

(jA2_______|

hx

/(X],X2,---,X/J)<—，即也生…儿《一(X+WT--w)

VVn

这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。例如：求z=/(x,y)

在条件叭X,y）=0下的极值，只要列出方程组产的《?=苑.（"）'）

再求出

【夕3），）=。

相应的则其中（X），）是可能的极值点.

例2.从斜边之长为/的一切直角三角形中，求最大周长的直角三角形。

解:设两条直角边为x,y本题的实质是求/Q,y）=x+），+/在条件/+）,2二产下的

极值问题。根据本文定理，列出方程组:阴4（：+#）=而而（炉+丫2_/2）

X2+y2=/2

进一步求解得

,{11}=/吁2），}容易解出x4所以根据题意（二是唯一的极大

X2+y2=/2V2IV26）

值点，因而也是最大值点。

当两条直角边都为时，直角三角形的周长最大。

正

4.利用二次方程判别式的符号求某些条件极值用

例若r+V+z?=],试求/=x-2y+2z的极值.

解因为y2(x+2z-f),代入d+J+z)=1得

x~+—(x+2z—f)~4-z~-1=0

即5x2+(4z-2f)x+(8z2+/2-4zf-4)=0(1)

这个关于x的二次方程要有实数解，必须：

△=(4z-2/尸-20(8z2+/2-4zf-4)>0

即/2-4^+9Z2-5<0

解关于/的二次不等式，得：

2z-y15(\-z2)<f<2z+^5(\-z2)-\<z<\

显然，求函数/的极值，相当于求

/W2z+j5(l-z?)-1<Z<1⑵

或

/<2Z-75(1-Z2)-1<Z<1(3)

的极值.

由⑵得9z2-4yz+/2-5=0(4)

这个关于z的二次方程要有实数解，必须

△=16/2-36(/2—5)NO,即9一/22。

解此关于/的二次不等式，得-3工/<3.

所以/max=3,fmin=-3.

771

把/=3代入⑷得z=「再把/=3,z=q代入⑴，得x=-，最后把

JJJ

2117

/=3,z==Q代入y=5(x+2z_/),得y=一..

JJ4J

I70

所以，当x=/)，