北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第11章 概率 单元质检卷十一 概率 (二)

单元质检卷十一概率

（时间：120分钟满分:150分）

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项符合题目要求.

1.在区间［-1,4］内取一个数x,则2x^2>；的概率是（）

4

A.-B.iC.-D.-

2355

答案:D

解析：因为2X*之*所以x-x-2^0,解得一,2］,所以所求概率

p_2-(Y)=|.故选D.

4-(-1)

2.（河北邯郸二模）某商场有三层楼,最初规划一层为生活用品区，二层为

服装区,三层为餐饮区,招商工作结束后,共有100家商家入驻,各楼层的

商铺种类如表所示,若从所有商铺中随机抽取一家,该商铺所在楼层与最

初规划不一致的概率为（）

商铺类型生活用品店服装店餐饮店

一层2573

二层4274

三层6123

A.0.75B.0.6

C.0.4D.0.25

答案:D

解析：100家商铺中与最初规划一致的有25+27+23=75家，故不一致的有

100-75=25家,

所以从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概

率为至=0.25.

100

3.（黑龙江齐齐哈尔一模）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，就是

人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内

方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆

的半径为r,正方形的边长为a（0<a<r）,若在圆内随机取一点，则该点取自

阴影部分的概率是（）

C*吟

答案:A

解析：圆形钱币的半径为r,面积为S小nr2.正方形边长为a,面积为S正方形

在圆形内随机取一点,此点取自阴影部分的概率是圆:正方形=

4.(山西太原二模)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数,分别记为m,n,

则巴为整数的概率为()

n

A.-B.iC.-D.-

54525

答案:B

解析:从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数组成的(*n)的所有情况为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,

1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共20

种,H为整数包含的基本事件(叫n)有5个,分别为

n

(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(4,2),共5个,则工为整数的概率为

n204

5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳,则一次

游戏两人平局的概率为()

A.iB.-C.iD.-

3349

答案:A

解析：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果

列表如下:

甲

乙

锤剪子包袱

锤（锤,锤）（锤,剪子）（锤,包袱）

剪子（剪子，锤）（剪子,剪子）（剪子,包袱）

包袱（包袱,锤）（包袱,剪子）（包袱,包袱）

由表格可知,共有9种等可能情况.其中平局的有3种：（锤,锤），（剪子,剪

子），（包袱,包袱）.设A为“甲和乙平局”，则P（A）《=，故选A.

JO

6.（安徽淮北一模）在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状完全相同的

小球,分别标有数字1,2,3,4.现每次有放回地从中任意取出一个小球,直

到标有偶数的球都取到过就停止,小明用随机模拟的方法估计恰好在第4

次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数,每1组中有4个数字，分

别表示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下21组随机数，由此可以估

计恰好在第4次停止摸球的概率为（）

1314123423331224332214133124

4321234124131224214343122412

1413433122344422324143314234

答案:A

解析:在21组随机数中，代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是

1234,1224,3124,1224,4312,2234,共6组,所以恰好在第4次停止摸球的

概率P=A=故选A.

7.刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一.

他全面证明了《九章算术》中的方法和公式,指出并纠正了其中的错误，

更是擅长用代数方法解决几何问题.如图在圆的直径CD上任取一点E,过

点E的弦AB和CD垂直,则AB的长不超过半径的概率是（）

A.1-立B.iC.iD,^

2344

答案:A

解析:设圆的半径为1,则有IAB|二2八2一|阳2.1,解得|（）E|29又点E

在直径CD上,所以所求的概率为喘=至毕二i—f.

8.（广东惠州高三调研）不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球,其

中2个白球、3个黄球，现从箱子中随机摸出2个球,则这2个球颜色不同

的概率为（）

答案:c

解析:将2个白球分别记为白球1,白球2,将3个黄球分别记为黄球1,黄

球2,黄球3.从该箱子中随机摸出2个球，所有情况是（白球1,白球2）,（白

球1,黄球1）,（白球L黄球2）,（白球1,黄球3）,（白球2,黄球1）,（白球

2,黄球2）,（白球2,黄球3）,（黄球1,黄球2）,（黄球1,黄球3）,（黄球2,

黄球3）,共10种,摸出的这2个球颜色不同的情况有（白球1,黄球1）,（白

球1,黄球2）,（白球1,黄球3）,（白球2,黄球1）,（白球2,黄球2）,（白球

2,黄球3）,共6种,故所求概率为白=|,故选C.

JLUO

9.（甘肃一模）圆到直线3x+4yT5=0的距离大于2的概率为（）

A.iB.iC.-D.-

6336

答案:C

解析:圆x?+y2=4的圆心0（0,0）到直线3x+4y-15=0的距离为

d=|0C|Jo+o^sj

\/9+16

如图所示,余上的点到直线3x+4y-15=0的距离小于或等于2,

所以0D=3-2=1,0A=2,所以NAOD』，NA0B卫，

33

所以圆上任意一点M到直线3x+4yT5=0的距离大于2的概率为

空X27

P=l---=故选C.

211X23

10.（全国甲，文10）将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概

率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

答案:C

解析:将3个1和2个0随机排成一行,共有

11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10

种排法,2个0不相邻的排法共有

OHIO,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法,故所求的概率为

^=0.6,故选C.

1L（吉林高三月考）若数列｛4｝满足aFl,a2=l,all+2=ari+an+1,则称数列瓜｝为

斐波那契数列.斐波那契螺旋线是根据斐波邦契数列画出来的螺旋曲线，

自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案.作图规则是在以斐波那契数为

边长的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为与的扇形，连起来的弧线就

是斐波那契螺旋线,如图所示的5个正方形的边长分别为a.,a2,a5,在

长方形ABCD内任取一点,则该点不在任何一个扇形内的概率为（）

103TT

A.1B

156-H

D•喷

答案:D

解析：由题意可得,数列｛aj的前5项依次为1,1,2,3,5,

・・・长方形ABCD的面积为5X8=40.4个扇形的面积之和为

-X（12+22+32+52）.

44

・,•所求概率粤.故选D.

160

12.我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加全国高中

数学联赛（初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示,其中

甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b

满足a,G,b成等差数列,且x,G,y成等比数列,则打加最小值为（)

甲乙

F876-

8x0802y

659136

4Q

A.-B.2C.-D.9

94

答案:c

解析：甲班学生成绩的中位数是80+x=81,得x=l.

由茎叶图可知乙班学生的总分为

76+80X3+90X3+（0+2+y+l+3+6）=598+y,

乙班学生的平均分是86,则总分为86X7=602,所以y=4.

若正实数a,b满足a,G,b成等差数列,且x,G,y成等比数列，则

xy=G2,2G=a+b,

即有a+b=4,a>0,b>0,

则工+3=工（a+b）0+士）」（1+4+2+空）>工（5+2I-•—）上X9亡当且

ab4ab4ab4y］ab44

仅当b=时,等号成立，即2+之的最小值为生

3ab4

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（河南焦作三模）某中学为了加强艺术教育,促进学生全面发展,要求每

名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课,某班有50名学生,选择音乐

的有21人,选择美术的有39人,从全班学生中随机抽取一人,那么这个人

两种兴趣班都选择的概率是.

答案4

解析：由题意，两种兴趣班都诜择的学生人数为21+39-50=10,从全班学生

中随机抽取一人,这个人两种兴趣班都选择的概率是=i

14.在区间［-2,2］上随机抽取一个数x,则事件区（x+l）WU发生

的概率为

解析：由不等式TWln（x+1）W1,得工TWxWeT,

e

所以事件“TWln（x+l）Wl”发生的概率为巴？==.

44e

15.从标有数字1,2,3的三个红球和标有数字2,3的两个白球中任取两个

球,则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为.

答案《

解析:从这五个球中任取两个球的基本事件有（红1,红2）,（红1,红3）,（红

1,白2）,（红1,白3）,（红2,红3）,（红2,白2）,（红2,白3）,（红3,白2）,（红

3,白3）,（白2,白3）,共10个基本事件，其中两球的数字和颜色都不相同

的基本事件有（红1,白2）,（红1,白3）,（红2,白3）,（红3,白2）,共4个基

本事件,所以取得两球的数字和颜色都不相同的概率为P=2=|.

x-y4-1>0,

16.在满足不等式组工+y-3<0,的点集中随机取一点M（x0,y。），设事件A

y>o

为"y°<2x。"，那么事件A发生的概率是.

答案：；

4

x-y+1>0,

解析:如图所示，不等式组工+丫-3W0,表示的平面区域为AABC且

y>0

A(l,2),B(-l,0),C(3,0),

显然直线1:y=2x过点A且与x轴交于点0,

・,•所求概率P=沁=*=：.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)，河北等8省公布了高考改革综合方案，将采取“3+1+2”模式,

即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想

政治、地理、化学、生物学中选择2门.为了更好进行规划，甲同学对高一

一年来的七次考试成绩进行统计分析,其中物理、历史成绩的茎叶图如图

所示.

物理成绩历史成续

69

676

52280

30942

68

(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；

(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科?并说明

理由.

解：(1)记物理、历史分别为A,A%思想政治、地理、化学、生物学分别为

Bi,B2,B3,B4,

由题意可知考生选择的情形有

{Ai,Bi,B2},{Ai,BI,B3},{Ai,BI,Bj,{Ai,B2,B：J,{Ai,B2,Bj,（Ai,B3,Bj,'A2,Bi,

B2},{A2,B„B3},{A2,BbBJ,{A2,B2,B3},{A2,B2,Bj,{A2,B3,Bj，共12种.

他选到物理、地理两门功课的情形有{A5—,{AI,B2,BJ,{AI'BJ,共3

种.

所以甲同学选到物理、地理两门功课的概率为

124

（2）物理成绩的平均分为元物理=76+82+82+；5+87+9。+93二85（分）,

历史成绩的平均分为亏万史=69+76+80+82+94+96+98=85（分）,

7

由茎叶图可知物理成绩的方差略理小于历史成绩的方差Sj；史.

故从平均分来看，选择物理、历史学科均可以;

从成绩的稳定性来看,应选择物理学科;

从最高分的情况来看,应选择历史学科.

18.（12分）（广西南宁一模）在某地区的教育成果展示会上,其下辖的一个

教育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大

学的学生人数（单位：个）有如下统计表:

年份

年份代码X123456

学生人666770717274

数y/个

（1）根据表中数据,建立y关于x的线性回归方程；

（2）根据线性回归方程预测该民族中学升入“双一流”大学的学生人数

（结果保留整数）.

附:对于一组数据（xi,山），3,y2）,-,（xn,y）其回归直线尸bx+a的斜率

和截距的最小二乘估计分别为b士E一（X-~X）~（v字--v）,a=y-bx.

E（阳-元）2

i=l

6

参考数据：Z参-土）（y「歹）=28.

1+2+3+4+5+6

解：（1）元=二3.5,

6

66+67+70+71+72+74

二70,

y6

66

S(x-X)2=17.5,£(x-x)(yi-y)=28,

i=li=l

贝ij6,a=y-br=70-l.6X3.5=64.4,

故y关于x的线性回归方程为y=l.6x+64.4.

（2）由⑴可得，当年份为时,年份代码x=7,

此时y=L6X7+64.4=75.6,保留整数为76.

所以预测该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为76.

19.（12分）（湖北武汉一模）有关研究表明，正确佩戴安全头盔,规范使用

安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要

作用.4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安

交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴

安全头盔,汽车驾乘人员不使用安全带的行为,助推养成安全习惯.该行动

开展一段时间后,某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进

行调查,在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情

况，得到如图的统计图表：

0.040

0.035

0.030

0.025

D.020

0.015

0.010

0.005

0

□未佩戴头盔

□佩戴头盔

年龄低年龄不低

于40岁于40岁

⑴估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄(同一组中的数据用该组区

间的中点侑为代表).

(2)根据所给的数据,完成下面的列联表：

年龄佩戴头盔没有佩戴头盔

[20,40)

[40,70]

(3)根据(2)中的列联表,判断是否有95%的把握认为遵守佩戴安全头盔与

年龄有关？

2

2n(ad-bc)

x二____________________________

(Q+b)(c+d)(Q+C)(匕+d)

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

解：(1)该市电动自行车骑乘人员的平均年龄为

25X0.25+35X0.35+45X0.2+55X0.15+65X0.05=39.

(2)2X2列联表如下:

年龄佩戴头盔没有佩戴头盔

[20,40)54060

[40,70]34060

(3)X2=1000X(60X540-60X340)2=经心5.682>3.841,

600x400x880x12022

所以有95%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.

20.(12分)(河南新乡三模)青少年近视问题已经成为影响青少年健康的

一个重要问题.某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽

取了200名青少年,调查他们每天使用电子产品的时间(单位:分钟)，根据

调查数据按(0,30],(30,60],(60,90],(90,120],(120,150],[150,180]分

成6组，得到频数分布表如下:

时间/(0,(30,(60,(90,(120,[150,

分钟30]60]90]120]150]180]

频数123872462210

(1)根据上表数据，求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数;

(2)若每天使用电子产品的时间超过60分钟,就叫长时间使用电子产品.

完成下面的2义2列联表,并判断是否有99%的把握认为是否患近视与每天

长时间使用电子产品有关.

是否长时间

否是合计

使用电子产品

患近视人数100

未患近视人数80

合计200

附•X"9-be)'

叩,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

解：（1）因为12+38=50<100,12+38+72=122>100,

所以该地青少年每天使用电子产品时间的中位数在（60,90］内,设该地青

少年每天使用电子产品时间的中位数为X,则靠9'新+i|署=0.5,

解得x二等,即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为等.

66

（2）由题意可得如下的2X2列联表

是否长时间使用电子产品否是合计

患近视人数20100120

未患近视人数305080

合计50150200

因为力罟粽田=詈-1D6.635,

所以有99%的把握认为是否患近视与每天长时间使用电子产品有关

21.（12分）近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛,等

级分为1至10分,有关部门随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,

得到样本数据如下:

A校样本数据条形图

率

於

6

40

。.35

3O

0.。

.25

06.2O

6.15

1O

。

6.O5

O0

B校样本数据统计表

成绩/分12345678910

人数/个000912219630

（D计算两所学校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较并评

价；

⑵从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样的

方法抽取6人,从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成

绩之和不小于15分的概率.

解：（1）由A校样本数据的条形图可知:成绩分别为4分、5分、6分、7分、

8分、9分的学生分别有:6人、15人、21人、12人、3人、3人.

4X6+5X15+6X21+7X12+8X3+9X3

A校样本的平均成绩为右=二6（分）,

6U

6x4+15x1+12x1+3x4+3x9.

A校样本的方差为货--------------------二1.5r.

60

由B校样本数据统计表可知:

B校样本的平均成绩为备=4X9+5X12+6X21+7X9+8X6+9X3二6（分）,

60

9x4+12x1+9x1+6x4+3x9,

B校样本的方差为步------------------=1.8o.

60

因为右=孤，所以两校学生的成绩平均分相同.

又因为货＜sj,所以A校的学生的成绩比较稳定，总体得分情况比B校好;

（2）依题意,A校成绩为7分的学生应抽取的人数为三乂12=4,设为

7X乙TIOIO

a,b,c,d;

成绩为8分的学生应抽取的人数为万三X3=l,设为e;

成绩为9分的学生应抽取的人数为7三义3:1,设为f.

XT4।OIO

所以所有基本事件有:ab,ac,ad,ae,af,be,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,

共15个，

其中满足条件的基本事件有：ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个，

所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和不小

于15分的概率为4=：.

155

22.（12分）某市房管局为了了解该市市民1月至1月期间购买二手房情况,

首先随机抽取其中200名购房者,并对其购房面积m（单位:平方

米,60WmW130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方

图,接着调查了该市1月至1月期间当月在售二手房均价y（单位:万元/平

方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1—13分别对应1月至

1月）.

_L

0.0304

0.025..............................

0.020....................................

0.015.............................................

0.010-1—

嘴bztbtttb_.

60708090100110120130购房面积加/平方米

图1

当月在仰二手房均价y

1.04

1.02

1.00

0.98