专项突破：待定系数法求一次函数的解析式（B测试）（解析版）

专题待定系数法求一次函数的解析式目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、已知一点求正比例函数的表达式 1题型二、已知一点求一次函数中K值或b值 3题型三、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 6题型四、两直线平移，求直线的表达式 8题型五、已知两点求一次函数的表达式 11B综合攻坚・能力跃升一、单选题1．（25-26八年级上·全国·课后作业）某一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一次函数的性质．由随的增大而增大，可得一次项系数大于0，再判断是否经过点即可．【详解】解：随的增大而增大，一次项系数大于0，排除选项C，D，对于，当时，，的图象不经过点，排除选项A；对于，当时，，B选项符合题意；故选B．2．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意是解题的关键．根据题意得出一次函数经过点，进而求出即可求解．【详解】解：∵一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，∴一次函数的图象经过点，即点，把点，点代入得：，解得：，∴此函数表达式是．故选：B3．（24-25九年级下·陕西西安·期中）直线绕坐标原点旋转后得到直线（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直线与x轴交点为，与y轴交点为,再中心对称的性质得出这两个点关于原点的对称点为，，在利用待定系数法求出旋转以后的直线的表达式即可．本题主要考查了关于坐标原点对称的点的特征．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∴由，得时，；时，；∴直线与x轴交点为，与y轴交点为,这两个点关于原点的对称点为，，设直线绕坐标原点旋转后得到直线为，则，解得，∴直线绕坐标原点旋转后得到直线为．故选：B二、填空题4．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，该直线的表达式是．【答案】或【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，利用k、b表示出的面积是解题的关键．设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则用b可表示B的坐标，从而可表示出的面积，则可求得k、b的值即可解答．【详解】解：设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∵直线经过点，∴，∴，即，在中，令可得，∴，∴，∵，∴，即，解得：或，∴或，∴直线表达式为或．故答案为：或．5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，在线段上（不包括端点），过点作轴于，轴于，四边形的周长为，则直线的函数表达式是．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟悉掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．利用周长分析出点的坐标，再利用待定系数法运算求解即可．【详解】解：∵轴于，轴于，∴四边形为矩形，∵四边形的周长为，∴，当时，，此时点坐标为，当时，，此时点坐标为，设直线的解析式为，把，分别代入得，解得，∴直线的解析式为；故答案为：．6．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，把绕点旋转后得到△，直线的函数表达式为．【答案】或【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，先确定一次函数与坐标轴的交点A和B的坐标，再分绕点A顺时针旋转90度和绕点A逆时针旋转90度这两种情况，分别确定对应情形下点的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数关系式即可．【详解】解：在中，当时，，当时，，∴，∴；如图所示，当把绕点顺时针旋转后得到△时，由旋转的性质可得，，∴，∴轴，∴点的横坐标为，纵坐标为3，即点的坐标为，设直线的函数表达式为，∴，∴，∴直线的函数表达式为；如图所示，当把绕点逆时针旋转后得到△时，由旋转的性质可得，，∴，∴轴，∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，设直线的函数表达式为，∴，∴，∴直线的函数表达式为；综上所述，直线的函数表达式为或，故答案为：或．三、解答题7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）一次函数的图象经过点和点．(1)求一次函数的表达式；(2)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．（1）运用待定系数法求出函数的解析式；（2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点．则，解得，∴一次函数解析式为；（2）解：令，解得，将代入，则，∴一次函数与坐标轴的交点坐标和，根据两点确定一直线画出一次函数的图象如下：两坐标轴围成的三角形面积为．8．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）已知y与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当时，求x的值．【答案】(1)(2)x的值为【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．（1）根据成正比例的定义，设，然后把，代入求出k，从而得到y与x的函数表达式；（2）利用（1）中的解析式，把代入求解即可．【详解】（1）设，把，代入得，解得，∴，即y与x的函数表达式为；（2）当时，，解得，即x的值为．9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．(1)求直线的表达式；(2)若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）设点的坐标为，结合，求出，从而可得，即可得解．【详解】（1）解：设直线的表达式为，因为直线过点，点，所以，解得，所以直线的表达式为．（2）解：设点的坐标为，因为，所以，解得，所以，所以点的坐标是．10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，连接．(1)求直线的函数表达式；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用函数交点坐标求函数表达式以及利用分割法求三角形面积。（1）先将点代入直线的解析式求出的值，再将点代入直线的解析式求出的值，从而得到直线的函数表达式；（2）先求出点、的坐标，再求出直线的解析式，然后求出的面积。【详解】（1）解：将点代入，得，所以，将代入，得，所以直线的函数表达式为；（2）将代入，得，所以．将代入，得，所以．如图，设直线与轴交于点，将代入，得，所以，所以，所以．11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，，将折叠，使点O落在上点D处，折痕交于C(1)求直线的表达式；(2)求点D的坐标；(3)将沿着射线方向平移，点D落到点E处（点E不与点D重合）．若是直角三角形，直接写出点E的坐标．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】本题考查一次函数与三角形的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称，等腰三角形，正确作出辅助线是解题的关键．（1）先求出，根据勾股定理，可得，则，，求出，则点的坐标为，设直线的表达式为，将分别代入，即可解答；（2）过点D作轴于点E，先求出，由，可得，根据勾股定理，求出，则，即可解答．（3）分类讨论：①当时，②当时，逐一分析，即可解答．【详解】（1）解：由得，，由折叠，得，∴，，，∴，，即，解得，∴，∴点的坐标为，设直线的表达式为，将分别代入，得，解得，∴直线的表达式为．（2）过点D作轴于点E，如图由（1）有，，∵，即，解得，∴，∴，∴点的坐标为．（3）过点D作，交x轴于点F，如图，由题意，可知点E在射线上，则有，设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴直线的表达式为．①当时，延长交直线于点M，如图∴，由将沿着射线方向平移，点D落到点E处，，可知平移后的三角形为，点B的对应点为C，点D的对应点为E，∵点向下平移3个单位长度，再向右平移个单位长度到，∴点向下平移3个单位长度，再向右平移个单位长度到；②当时，点E的横坐标与点A横坐标相同，即，将代入，得，∴．综上所述，点E点坐标为或．12．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且．(1)求该一次函数的表达式；(2)求直线的函数表达式；(3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的基本性质、一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质能够求出一次函数解析式是解题关键．（1）分别令与，即可求得A、B两点的坐标；（2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式；（3）先联立解析式求出M和N的坐标，再通过面积关系得到M、N两点之间的坐标关系，进而建立方程求解即可．【详解】（1）解：∴,∵∴，．把代入，得，解得,该一次函数的表达式为．（2）解：由（1）知：，，，，解得，点E的坐标为．设直线的函数表达式为，将点的坐标代入，得，解得，直线的函数表达式为．（3）解：如图，过点M作轴于点C，过点N作轴于点D．由（2）知，．，即．在和中，，．设点N的坐标为，则点M的坐标为．将点M的坐标代入，得，解得，点N的坐标为．把点N的坐标代入得：，∴．13．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．(1)求点的坐标．(2)求折痕所在直线的函数表达式．(3)在坐标轴上是否存在一点P，使的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在一点P，使的面积为12，点P的坐标为或或或．【分析】（1）折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，即可得到点的坐标；（2）设，则，而，在中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可；（3）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，由的面积为，即可求解．【详解】（1）解：（1）∵四边形为长方形，∴，，∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点，∴，，在中，，，∴，∴点的坐标为；（2）设，则，而，在中，，即，解得，∴M点的坐标为，设直线的解析式为，把和代入得，，解得，∴直线的解析式为；（3）存在，理由：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，则的面积，解得或，故点P的坐标为或；当点P在y轴上时，设点P的坐标为，则的面积，解得或，故点P的坐标为或；综上，点P的坐标为或或或．14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)当时，的函数最大值为4，求的值；(3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】本题考查一次函数，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题关键：（1）利用待定系数法求解即可得出答案；（2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，得出随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，再求出，进而得出答案；（3）设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．求出点的坐标为，再根据求出，即可得出答案．【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，将点代入中，得，解得，所以直线的函数表达式为．（2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，所以随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，将代入，得，解得，所以．（3）存在．如图，设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．将代入，得，所以点的坐标为，所以．因为，所以．因为，解得，所以点的坐标为．15．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】（1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________；【初步思考】（2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________．【解决问题】（3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________；【深度思考】（4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题：①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________．②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________．【拓展应用】（5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________．【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可；（2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式；②过点